山西省大同市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-03-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

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2. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{1.5}$ B、 $\sqrt{30}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{\frac{4}{3}}$

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3. 根据我国古代一部数学著作记载，在约公元前1100年，人们就已经知道如果勾是三、股是四，那么弦是五，这本数学著作是（）

A、《周髀算经》 B、《九章算术》 C、《几何原本》 D、《海岛算经》

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4. 在▱ABCD中，若∠B＝70°，则∠D＝（）

A、35° B、70° C、110° D、130°

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5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分

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6. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A、1、2、3 B、 $3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$ C、 $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}$

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7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）

A、AC⊥BD B、AB＝BC C、AC＝BD D、∠1＝∠2

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8. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在 $A B$ 的同侧取一点C，连接 $C A$ 并延长至点D，使得 $D A = A C$ ，连接 $C B$ 并延长至点E，使得 $E B = B C$ ．若 $D E = 18 m$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、12m B、10m C、9m D、8m

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， D为 $A C$ 的中点，若 $∠ C = 55 °$ ，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、55° B、35° C、45° D、30°

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10. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使 $∠ A B C = 60 °$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、9 B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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二、填空题

11. 二次根式 $\sqrt{2 - x}$ 中， $x$ 的取值范围是.

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12. 如图，在平面直角坐标中，有两点 $A (0 ， 4)$ ， $B (5 ， 0)$ ，则A，B两点间的距离是

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13. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示， $△ A B C$ 中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为（方程不用化简）．

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14. 写出命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，E，F，H分别是边 $B C$ ， $C D$ ， $A B$ 上的一点，将正方形 $A B C D$ 沿 $F H$ 折叠，使点D恰好落在 $B C$ 边的中点E处，点A的对应点为点P，则折痕 $F H$ 的长为．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $(2 \sqrt{3} + 1) (2 \sqrt{3} - 1)$

(2)、 $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{27} \div \sqrt{2}$

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17. 如图，四边形 $A E F D$ 和 $E B C F$ 都是平行四边形．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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18. 已知a，b分别是 $4 - \sqrt{5}$ 的整数部分和小数部分．

(1)、分别写出a，b的值；

(2)、求 $2 a - b^{2}$ 的值．

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19. 现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图①中画出分割线并在图②正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.

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20. 数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为 $16 c m^{2}$ ，长、宽、高的比为 $4 ： 2 ： 1$ ．

(1)、计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？

(2)、把这个长方体的高的值在数轴上表示出来；

(3)、一支长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通过计算说明你的结论．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线）

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21. 阅读下列材料并完成相应的任务
等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
如图，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上有一动点E，以 $E C$ 为边作 $▱ E C F G$ ，且边 $F G$ 过矩形的顶点D，在点E从点A移动到点B的过程中， $▱ E C F G$ 的面积如何变化？
小亮的观点：过点D作 $D H ⊥ C E$ 于点H，连接 $D E$ ． $C E$ 与 $D H$ 的乘积始终等于 $C D \cdot A D$ ，所以 $▱ E C F G$ 的面积不变．
小明的观点：在点E的运动过程中， $C E$ 的长度在变化，而 $C E$ 与 $F G$ 两条平行线间的距离不变，所以 $▱ E C F G$ 的面积变化．
任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程．

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22. 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
动手操作
操作1：如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 沿着对角线 $B D$ 折叠，顶点C落在点E处， $B E$ 交 $A D$ 于点F．
操作2：如图2，在操作1的基础上，过点D作 $D G ∥ B F$ ，交 $B C$ 于点G，连接 $F G$ 交 $B D$ 于点O．

(1)、在图1中，求证 $△ B D F$ 是等腰三角形；

(2)、在图2中，判断四边形 $B F D G$ 的形状，并说明理由；

(3)、在图2中，若 $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，直接写出 $F G$ 的长．

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23. 综合与探究
如图， $▱ A B C D$ 中，点A，B，C在坐标轴上，点C的坐标是 $(6 ， 0)$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45 °$ ，点M，N分别以A，C为起点，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A D$ ， $C B$ 方向同时运动，设点M，N的运动时间为t秒 $(0 \leq t \leq 6)$ ．

(1)、求点B的坐标．

(2)、连接 $A N$ ， $C M$ ，当t为何值时，四边形 $A M C N$ 为菱形．

(3)、若点P是x轴上一动点（点P不与B，C重合），点Q是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点P，使得以点C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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