河北省保定市阜平县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-03-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt[3]{8}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{16}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $A C^{2} - B C^{2} = A B^{2}$ ，则（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $∠ C = 90 °$ D、不能确定

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3. 墨迹覆盖了等式“ $\sqrt{8} ○ \sqrt{2} = 2$ ”中的运算符号，则覆盖的是（）

A、＋ B、－ C、× D、÷

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4. 如图， $▱$ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）

A、OA＝OC B、AB＝AC C、∠ABD＝∠CBD D、AC⊥BD

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5. 与 $\sqrt{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ 结果相同的是（）

A、 $a - b$ B、 $a + b$ C、 $b - a$ D、 $| a - b |$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数是（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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7. 化简 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 的结果为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $- 2 + \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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8. 如图，在离地面高3m处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC，且和地面成60°，则拉线BC的长是（）

A、6m B、 $\sqrt{3} m$ C、 $2 \sqrt{3} m$ D、 $3 \sqrt{3} m$

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9. 如果最简二次根式 $\sqrt{a + 2}$ 与 $\sqrt{12}$ 能够合并，那么a的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、10

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10. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（）

A、4 B、8 C、 $8 \sqrt{3}$ D、16

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， A D = 1 ， A B$ 在数轴上，若以点A为圆心，对角线 $A C$ 的长为半径作到交数轴的正半轴于M，则点M，在数轴上表示的数为（）

A、2 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{10} - 1$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，D，E，F分别是边 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点，连接 $A E$ ， $B F$ ， $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A E$ 是 $△ A B C$ 的中位线 B、 $E F$ 是 $△ A B C$ 的中位线 C、 $D E$ 是 $△ A B E$ 的中位线 D、DF是 $△ A B F$ 的中位线

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13. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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14. 如图所示的是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片不可能的是（）

A、3，4，5 B、1，3，4 C、2，3，5 D、1，4，5

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E、F分别在边 $A B 、 B C 、 C A$ 上，且 $D E ∥ C A ， D F ∥ B A$ ．下列四种说法，其中正确的有（　　）个
①四边形 $A E D F$ 是平行四边形：
②如果 $∠ B A C = 90 °$ ，则四边形 $A E D F$ 是矩形：
③如果 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则四边形 $A E D F$ 是菱形：
④如果 $A D ⊥ B C$ 且 $A B = A C$ ，则四边形 $A E D F$ 是菱形，

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　）

A、20cm B、2 $\sqrt{106}$ cm C、（12+2 $\sqrt{34}$ ）cm D、18cm

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二、填空题

17. 若 $y = \sqrt{x - 2} - \sqrt{2 - x} + 3$ 有意义，则x= ，此时 $y^{x} =$ ．

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18. 已知一个三角形工件尺寸（单位： $dm$ ）如图所示，则高h是 $dm$ ，它的面积是 ${dm}^{2}$ ．

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点O，过点B作 $B F ⊥ A C$ 交 $C D$ 于点F，交 $A C$ 于点M，过点D作 $D E ∥ B F$ 交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点N，连接 $F N$ ， $E M$ ．

(1)、若 $D N = 5$ ，则 $B M =$ ；

(2)、当 $∠ B A C =$ 时，四边形 $D E B F$ 是菱形．

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三、解答题

20. 求代数式 $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ 的值，其中 $a = 1011$ ，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．

(1)、的解法是错误的．

(2)、求代数式 $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ 的值，其中 $a = - 2022$ ．

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21. 如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．

(1)、求修建的公路CD的长；

(2)、若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？

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22. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F ，连接CD ．

(1)、求证：DE＝CF；

(2)、求EF的长．

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23. 如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．

(1)、若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长．

(2)、若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．

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24. 某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．

(1)、求小岛两端A，B的距离．

(2)、过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求 $\frac{B F}{B C}$ 值．

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25. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．

(1)、如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为 $| m － n |$ （即“接近度”＝ $| m － n |$ ），于是 $| m － n |$ 越小，菱形就越接近正方形．
①若菱形的“接近度”＝，菱形就是正方形；
②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝．

(2)、如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为 $\frac{m}{n}$ （即“接近度”＝ $\frac{m}{n}$ ）．
①若矩形的“接近度”＝ ▲ ，矩形就是正方形；
②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”．

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26. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、奋进小组用图1中的矩形纸片 $A B C D$ ，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线 $A C$ 折叠，使点B落在点 $B^{'}$ 处，则 $Δ A D C$ 与 $Δ A B^{'} C$ 重合部分的三角形的形状是．

(2)、勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠（如图3），使点A与点C重合，折痕为 $E F$ ，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

(3)、创新小组用图4中的矩形纸片 $A B C D$ 进行操作，其中 $A D = 8 c m$ ， $A B = 6 c m$ ，先沿对角线 $B D$ 对折，点C落在点 $C^{'}$ 的位置， $B C^{'}$ 交 $A D$ 于点G，则 $A G$ 的长为 $c m$ ．

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