鲁教版（五四学制）2022-2023学年八年级数学下册9.6 黄金分割同步测试

试卷更新日期：2023-03-12 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若点C是线段AB的黄金分割点， $A C > B C ， A B = 8$ ，则AC的长度为（）

A、 $12 - 4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5} - 4$ C、5 D、 $2 \sqrt{5}$

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2. 比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（）

A、1.5米 B、1.2米 C、1.0米 D、0.8米

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3. 神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是 $137.5 °$ ．我们知道圆盘一周为 $360 °$ ， $360 ° - 137.5 ° = 222.5 °$ ， $137.5 ° \div 222.5 ° \approx 0.618$ ．这体现了（）

A、轴对称 B、旋转 C、平移 D、黄金分割

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4. 下面说法错误的是（）

A、点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{- 3}{x}$ 图象上，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ B、若点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A B = 8 c m$ ， $A C > B C$ ，则 $A C = 4 (\sqrt{5} - 1) c m$ C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形 D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积

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5. 已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC的长为（）

A、（6-2 $\sqrt{5}$ ） B、（2 $\sqrt{5}$ -2） C、（ $\sqrt{5}$ -1） D、（3- $\sqrt{5}$ ）

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6. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（　　）cm

A、 $7 \sqrt{5} + 7$ B、 $21 - 7 \sqrt{5}$ C、 $7 \sqrt{5} - 7$ D、 $7 \sqrt{5} - 21$

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7. 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（） $c m$ ．（精确到 $1 c m$ ，参考数据：黄金分割比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ）

A、5 B、8 C、10 D、12

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8. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点 $(A P > P B)$ ，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）cm．

A、 $4 - 2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5} - 4$ C、 $4 \sqrt{5} + 4$ D、 $4 - 4 \sqrt{5}$

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9. 如果P是线段 $A B$ 的黄金分割点，并且 $A P > P B$ ， $A B = 1$ ，那么 $A P$ 的长度为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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10. 点P是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > P B$ ，则下列等式不成立的是（）

A、 $\frac{P B}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{A P}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $A P^{2} = A B \cdot B P$ D、 $A B^{2} = A P^{2} + P B^{2}$

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二、填空题

11. 如图，在“黄金三角形” $A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D，若 $C D = 1$ ，则 $A C$ 的长为．

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12. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 $18 c m$ ，则它的宽为.（结果保留根号）

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13. 黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为cm．（结果保留根号）

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14. 若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为．

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15. 已知线段 $A B = 4$ ， $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A P > B P$ ，则 $A P =$ ．

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三、解答题

16. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 边上的黄金分割点，且 $A E$ ＞ $E B$ ， $S_{1}$ 表示 $A E$ 为边长的正方形面积， $S_{2}$ 表示以 $B C$ 为长， $B E$ 为宽的矩形面积， $S_{3}$ 表示正方形 $A B C D$ 除去 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 剩余的面积，求 $S_{3}$ ： $S_{2}$ 的值．

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17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即 $A D = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} A E$ ，BE交DC于点F，已知 $A B = \sqrt{5} + 1$ ，求CF的长 .

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18. 如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．

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四、综合题

19.

(1)、已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；

(2)、如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．

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20.

(1)、已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{a + b}{b}$ 的值；

(2)、已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长．

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21. 如图，已知在△ABC中，BC＞AB ， BD平分∠ABC ，交边AC于点D ， E是BC边上一点，且BE＝BA ，过点A作AG∥DE ，分别交BD、BC于点F、G ，联结FE ．

(1)、求证：四边形AFED是菱形；

(2)、求证：AB²＝BG•BC；

(3)、若AB＝AC ， BG＝CE ，联结AE ，求 $\frac{S_{Δ A D E}}{S_{Δ A B C}}$ 的值．

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22. 已知在△ABC中，AB＝AC＝ $2 \sqrt{3}$ ，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．

(1)、求证：△ABF∽△DCA；

(2)、若AD＝ED ．
①联结EC ，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求 $\frac{S_{△ A B F}}{S_{△ F E C}}$ ．

②联结BE ，当DF＝1时，求BE的长．

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23. 如图

(1)、如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： $\frac{A E}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .（这个比值 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做AE与AB的黄金比.）

(2)、如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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