鲁教版（五四学制）2022-2023学年八年级数学下册8.5 一元二次方程根与系数的关系同步测试

试卷更新日期：2023-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 的两实数根之和等于（）

A、-2 B、2 C、-5 D、5

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2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程x²－7x＋c＋7＝0的两根，那么AB边上的中线长是（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、5 D、2

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3. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ 的两个根.则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值为（）

A、3 B、10 C、 $- 3$ D、 $- 10$

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为1和-1，则 $b^{2} - c^{2}$ 的值为（）.

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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5. 已知 $α$ 、 $β$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} - 4 α - 2 β - 2$ 的值是（）

A、2016 B、2018 C、2022 D、2024

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6. 若一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ 有两实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2} ，$ 下列选项正确的是（）

A、 $x_{1} = x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ C、 $x_{1} x_{2} = - 6$ D、 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = - 2$

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $3 x_{1} + 3 x_{2} - x_{1} x_{2} = 5$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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8. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两根，则代数式 $2 a^{3} + 5 a + 3 b^{3} + 3 b + 1$ 的值是（）

A、19 B、20 C、14 D、15

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9. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 的两不相等的实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 17 = 0$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ 或-3 B、-3 C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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10. 若一个矩形的长和宽是关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - 8 x + m = 0$ 的两根，则该矩形的周长为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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二、填空题

11. 关于x的一元二次方程x²+mx-3＝0的一个根是1，则另一根为.

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $m =$ .

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13. 若m、n是一元二次方程 $2 x^{2} - 2022 x + 5 = 0$ 的两个根，则 $m + n$ 的值为．

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14. 已知关于x的方程x²－2x＋2k－1＝0的两根分别是x₁、x₂ ，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} =$ x₁·x₂ ，则k的值是．

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15. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两实根，则 $m - m n + n$ 的值为．

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三、解答题

16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + 2 k^{2} = 0$ 的两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ ，求k的值．

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17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - k x - 21 = 0$ 有一个根是-3，求另一个根及k值.

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + k - 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 1$ ，求k的值．

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四、综合题

19. 若关于x的方程 $x^{2} - 2 x + k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、设方程的两根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = x_{1} x_{2}$ ，求 $k$ 的值.

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 9 = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、设此方程的两个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $2 x_{1} = x_{2} + 5$ ，求 $m$ 的值．

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 6 x + 2 m - 1 = 0$ .

(1)、若方程有两个相等的实数根，求m的值.

(2)、若方程的两根都为负数，求m的取值范围.

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22. 阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ .根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：已知实数a，b满足： $a^{2} - 7 a + 1 = 0$ ， $b^{2} - 7 b + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，则 $a + b =$ ， $a b =$ ；

(2)、间接应用：在（1）条件下，求 $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$ 的值；

(3)、拓展应用：已知实数x，y满足： $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{m} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $m n \neq - 1$ ，求 $\frac{1}{m^{2}} + n^{2}$ 的值.

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23. 已知， $α ， β$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 - k = 0$ 的两个实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数k，使得等式 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = k + 3$ 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.

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鲁教版（五四学制）2022-2023学年八年级数学下册8.5 一元二次方程根与系数的关系 同步测试

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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