鲁教版（五四学制）2022-2023学年八年级数学下册8.4 用分解因式法解一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2023-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 关于x的方程 $x^{2} + m x - m^{2} = - 5$ 的一个根是4，那么m的值是（）

A、-3或4 B、 $- 3$ 或7 C、3或4 D、3或7

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2. 方程 $x^{2} = 2 x$ 的根是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 0$

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3. 关于x，y的二次三项式 $x^{2} + m x y - 4 x ， y^{2} + m x y - 4 y$ （m为常数），下列结论正确的有（）
①当 $m = 1$ 时，若 $x^{2} + m x y - 4 x = 0$ ，则 $x + y = 4$
②无论x取任何实数，等式 $x^{2} + m x y - 4 x = 3 x$ 都恒成立，则 $x + m y = 7$
③若 $x^{2} + x y - 4 x = 5 ， y^{2} + x y - 4 y = 7$ ，则 $x + y = 6$
④满足 $x^{2} + x y - 4 x + y^{2} - x y - 4 y \leq 0$ 的正整数解 $(x ， y)$ 共有25个

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 的一个根，则该菱形的周长为（）

A、40 B、16 C、16或20 D、20

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5. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 的两不相等的实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 17 = 0$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ 或-3 B、-3 C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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6. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 $x^{2} - 7 x ＋ 12 ＝ 0$ 的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（）

A、3 B、4 C、6 D、2.5

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7. 等腰三角形的两边的长是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 两个根，则此三角形的周长是（）

A、7 B、8 C、7或8 D、以上都不对

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8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x²-9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）

A、12 B、9 C、15 D、12或15

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9. 一个三角形的两边长为3和6，第三边边长是方程（x-2）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长为（）

A、11 B、13 C、11或13 D、11和13

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10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两根分别为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 3$ ，则原方程可化为（）

A、 $(x + 2) (x + 3) = 0$ B、 $(x + 2) (x - 3) = 0$ C、 $(x - 2) (x - 3) = 0$ D、 $(x - 2) (x + 3) = 0$

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二、填空题

11. 小华在解方程 $x^{2} = 8 x$ 时，只得出一个根是 $x = 8$ ，则被他漏掉的一个根是 $x =$ .

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 的一个根为 $- 1$ ，则另一个根是．

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13. 如果方程x²-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为.

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14. 设 $A = x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 13$ ， $B = x^{2} + 5 x + 5$ ，若 $B^{A} = 1$ ， $x ， y$ 均为整数，则 $x$ 的所有可能的值为.

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15. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两根，则该等腰三角形的周长为.

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三、解答题

16. 设关于x的二次方程 $(k^{2} - 6 k + 8) x^{2} + (2 k^{2} - 6 k - 4) x + k^{2} = 4$ 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.

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17. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + \frac{3 k^{2} - 9 k}{x^{2} - 2 x - 2 k} = 3 - 2 k$ 有四个不同的实数根，求 $k$ 的取值范围.

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18. 阅读下面的例题，
范例：解方程 $x^{2} - | x | - 2 = 0$ ，

解：（1）当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ ，请参照例题解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$

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四、综合题

19. 解一元二次方程

(1)、 $x^{2} - 2 x = 15$

(2)、 ${(x + 2)}^{2} - 10 (x + 2) = 0$

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m = 0$ .

(1)、判断这个一元二次方程的根的情况.

(2)、若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.

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21.

(1)、解方程： $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

(2)、已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 的图象与x轴有交点，求a的取值范围．

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22. 按题目要求解答问题.

(1)、用适当的方法解方程： $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ；

(2)、已知x是方程 $x^{2} + 3 x = 0$ 的根，求代数式 $(\frac{1}{x - 1} + 1) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ 的值.

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23. 定义：已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，且 $3 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 4$ ，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 的两根为 $x_{1} = - 10 ， x_{2} = - 3$ ，因 $- 10 < - 3 < 0$ ， $3 < \frac{- 10}{- 3} < 4$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)、判断一元二次方程 $x^{2} + 9 x + 14 = 0$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)、若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + (k + 7) x + k^{2} + 3 = 0$ 是“限根方程”，且两根 $x_{1} 、 x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = - 1$ ，求k的值；

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x - m = 0$ 是“限根方程”，求m的取值范围.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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