鲁教版（五四学制）2022-2023学年八年级数学下册8.2 用配方法解一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2023-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 6 x - 4 = 0$ 时，以下变形正确的是（）

A、 $(x + 3)^{2} = 13$ B、 $(x - 3)^{2} = 13$ C、 $(x - 6)^{2} = 4$ D、 $(x + 6)^{2} = 4$

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2. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（）

A、② B、③ C、④ D、⑤

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 0$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = - 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 2$

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4. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 6 x - 10 = 0$ ，此方程可变形为（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 19$ D、 ${(x + 3)}^{2} = 19$

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5. 把方程 $x^{2} - 6 x + 2 = 0$ 化成 ${(x - m)}^{2} = n$ 的形式，则 $m + n$ 的值是（）

A、-4 B、4 C、-10 D、10

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6. 不论x，y取何值，代数式 $9 x^{2} + 4 y^{2} + 6 x - 8 y + 2$ 的值（）

A、总不小于-3 B、总不大于-3 C、总大于2 D、总小于2

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7. 把方程 $x^{2} - 6 x - 1 = 0$ 转化成 ${(x + m)}^{2} = n$ 的形式，则 $m$ ， $n$ 的值是（）

A、3，8 B、3，10 C、-3，3 D、-3，10

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8. 已知方程 $x^{2} - 6 x + 4 = □$ ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成 ${(x - p)}^{2} = 7$ 的形式，则印刷不清楚的数字是（）

A、6 B、9 C、2 D、-2

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9. 已知 ${(x + 2)}^{2} = 0$ ，则 $x^{3}$ 的值等于（）

A、8 B、2 C、−3 D、−8

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10. 将一元二次方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 变形为 $(x + m)^{2} = k$ 的形式，正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = 1$ B、 $(x + 2)^{2} = 3$ C、 $(x + 2)^{2} = 4$ D、 $(x + 2)^{2} = 5$

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二、填空题

11. 如果方程x²＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）²-3＝0，那么（n-m）²⁰²⁰＝．

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12. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a - b^{2} = 2$ ，则代数式 $a^{2} - 3 b^{2} + a$ 的最小值为.

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13. 对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{2，3}＝3，若 $m a x {(x - 1)^{2} ， x^{2}}$ ＝1，则x＝.

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14. 给出一种运算：对于函数 $y = x^{n}$ ，规定 $y^{'} = n x^{n - 1}$ ．例如：若函数 $y_{1} = x^{4}$ ，则有 ${y^{'}}_{1} = 4 x^{3}$ ．若函数 $y_{2} = x^{3}$ ，求方程 ${y^{'}}_{2} = 12$ 的解为．

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15. 将方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 化为 $(x + a)^{2} = b$ 的形式，则 $a + b$ 的值为．

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三、解答题

16. 用配方法解一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）

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17. 用配方法求 $- 3 x^{2} - 6 x + 1$ 的最大值，并求此时x的值．

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18. 在用配方法解一元二次方程4x²﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x²﹣12x﹣1＝0可化成（2x）²﹣6×2x﹣1＝0，

移项，得（2x）²﹣6×2x＝1．

配方，得（2x）²﹣6×2x+9＝1+9，

即（2x﹣3）²＝10．

由此可得2x﹣3＝± $\sqrt{10}$ ∴x₁ $= \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$ ，x₂ $= \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$ ．

晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？

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四、综合题

19. 下面是小聪同学用配方法解方程： $2 x^{2} - 4 x - p = 0$ $(p > 0)$ 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
$2 x^{2} - 4 x - p = 0$
解：移项，得： $2 x^{2} - 4 x = p$ ． ①
二次项系数化为1，得： $x^{2} - 2 x = \frac{p}{2}$ ． ②
配方，得 $x^{2} - 2 x + 1 = \frac{p}{2}$ ． ③
即 $(x - 1)^{2} = \frac{p}{2}$ .
∵ $p > 0$ ，
∴ $x - 1 = \pm \sqrt{\frac{p}{2}}$ ． ④
∴ $x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{2 p}}{2}$ ， $x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2 p}}{2}$ ． ⑤

(1)、第②步二次项系数化为1的依据是什么？

(2)、整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．

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20. 阅读材料：利用完全平方公式可以将一些形如 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的多项式变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的配方法，利用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如： $x^{2} + 6 x - 7 = x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 7 = {(x + 3)}^{2} - 16 = (x + 3 + 4) (x + 3 - 4) = (x + 7) (x - 1)$ ．
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、分解因式（利用配方法）： $x^{2} + 8 x + 12$ ；

(2)、求多项式 $2 x^{2} + 4 x - 1$ 的最小值；

(3)、比较 $a^{2} - a + 3$ 与 $2 a^{2} - 3 a + 5$ 的大小，并说明理由．

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21. 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a²+b²（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，5是“完美数”，理由：因为5＝1²+2² ，所以5是“完美数”．

解决问题：

(1)、已知29是“完美数”，请将它写成a²+b²（a，b为整数）的形式；

(2)、若x²-4x+5可配方成（x-m）²+n（m，n为常数），求mn的值；

(3)、已知S＝x²+4y²+4x-12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．

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22. 已知关于x的方程 $x^{2} - 4 x + m - 3 = 0$ 有实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为满足条件的最大整数，则方程的解为.

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23. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax²+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)²+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax²+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例如：
$x^{2} + 4 x - 5 = x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 5 = {(x + \frac{4}{2})}^{2} - 4 - 5 = {(x + 2)}^{2} - 9 = (x + 2 + 3) (x + 2 - 3) = (x + 5) (x - 1)$ 根据以上材料，解答下列问题

(1)、分解因式 $x^{2} + 2 x - 3$ ；

(2)、求多项式x²+6x-9的最小值；

(3)、已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 50 = 6 a + 8 b + 10 c$ ，求△ABC的周长.

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