鲁教版（五四学制）2022-2023学年八年级数学下册8.1一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2023-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 $(x + 1) (x + 2) = 1$ D、 $(x - 3)^{2} + 4 = x^{2}$

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2. 已知m是一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的一个根，则 2022-m²+m的值为（）

A、2019 B、2020 C、2023 D、2025

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A、1，3，-4 B、0，3，4 C、0，-3，4 D、1，-3，-4

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4. 已知x＝1是方程x²﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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5. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0$ （ $a \neq 0$ ）有一根为 $x = 2022$ ，则一元二次方程 $a {(x - 1)}^{2} + b x - b = - 2$ 必有一根为（）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 与 $x^{2} - x + 3 = 0$ 的所有实数根的和等于（）

A、2 B、-4 C、4 D、3

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7. 已知x＝﹣1是方程x²+ax+2＝0的一个根，则a的值为（）

A、﹣1 B、1 C、﹣3 D、3

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8. 方程x（2x-5）=4x-10化为一元二次方程的一般形式是（）

A、2x-4x+5=0 B、2x-x+10=0 C、2x-9x+10=0 D、2x-9x-10=0

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9. 已知一元二次方程x²﹣kx+3＝0有一个根为1，则k的值为（　　）

A、﹣2 B、2 C、4 D、﹣4

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10. 已知两个关于x的一元二次方程 $M ： a x^{2} + b x + c = 0 ， N ： c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中 $a c \neq 0 ， a \neq c$ .下列结论错误的是（）

A、若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B、若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C、若5是方程M的一个根，则 $\frac{1}{5}$ 是方程N的一个根 D、若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 $x = 1$

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二、填空题

11. 关于x的方程 $x^{2} + m x = 0$ 的一个根是-2，则m的值为．

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12. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 1 = 0$ 的一个解是 $x = 1$ ，则2023-a-b= ．

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13. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x - 5 = 0$ 的一个根是1，则这个方程的另一个根是．

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14. 已知 $x = 1$ 是方程 $x^{2} + a x - b = 0$ 的一个根，则 $2 a - 2 b + 2022 =$ ．

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15. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 ${x_{1}}^{2} - x_{1} + 2 x_{2}$ = ．

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三、解答题

16. 已知：关于x的方程 $3 x^{2} + m x - 8 = 0$ 有一个根是－4，求另一个根及m的值．

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + mx + n = 0$ 的一个解是 $x = 2$ ，另一个解是正数，而且也是方程 ${(x + 4)}^{2} - 22 = 9 x$ 的解，请求出 $m + n$ 的值.

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18. 如果m，n是一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的两个不相等的实数根，求代数式 $2 n^{2} - m n + 2 m$ 的值.

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四、综合题

19. 已知关于x的一元二次方程 $(x - 1) (x - 2) = m + 1$ （m为常数）.

(1)、若它的一个实数根是关于x的方程 $2 (x - m) - 4 = 0$ 的根，求m的值；

(2)、若它的一个实数根是关于x的方程 $2 (x - n) - 4 = 0$ 的根，求证： $m + n \geq - 2$ .

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20. 已知关于x的一元二次方程（a＋c）x²＋2bx＋（a-c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)、如果x＝-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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21. 关于x的一元二次方程x²﹣3x+k＝0有实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x²+x+m﹣3＝0与方程x²﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．

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22. 已知关于x的一元二次方程（a+b）x²﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.

(1)、如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

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23. 如图，四边形 $ACDE$ 是证明勾股定理时用到的一个图形， $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $Rt △ ABC$ 和 $Rt △ BED$ 边长，易知 $AE = \sqrt{2} c$ ，这时我们把关于 $x$ 的形如 ${ax}^{2} + \sqrt{2} cx + b = 0$ 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

(1)、写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于 $x$ 的“勾系一元二次方程” ${ax}^{2} + \sqrt{2} cx + b = 0$ 必有实数根；

(3)、若 $x = - 1$ 是“勾系一元二次方程” ${ax}^{2} + \sqrt{2} cx + b = 0$ 的一个根，且四边形 $ACDE$ 的周长是 $6 \sqrt{2}$ ，求 $△ ABC$ 面积.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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