山东省菏泽市2023届高三下学期数学一模联考试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 2}$ D、 ${x ∣ x \leq - 1$ 或 $x \geq 2}$

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2. 设i是虚数单位，复数 $z = i (2 - i)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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3. 2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折 $n$ 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数 $n$ 是（）（ $l g 2 \approx 0.3$ ， $l g 3.8 \approx 0.6$ ）

A、40 B、41 C、42 D、43

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4. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且 $A ， B ， C ， D$ 四个顶点在同一平面内，下列结论：① $A E$ $/ /$ 平面 $C D F$ ；②平面 $A B E$ $/ /$ 平面 $C D F$ ；③ $A B ⊥ A D$ ；④平面 $A C E ⊥$ 平面 $B D F$ ，正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 过抛物线 $C ： y = 4 x^{2}$ 焦点 $F$ 作倾斜角为 $3 0^{∘}$ 的直线交抛物线于 $A ， B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、16

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6. 为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（）

A、9种 B、11种 C、15种 D、30种

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7. 设实数 $x ， y$ 满足 $x + y = 1$ ， $y > 0$ ， $x \neq 0$ ，则 $\frac{1}{| x |} + \frac{2 | x |}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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8. 定义在实数集 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，如果 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的不动点.给定函数 $f (x) = c o s x$ ， $g (x) = s i n x$ ，已知函数 $f (x)$ ， $f (g (x))$ ， $g (f (x))$ 在 $(0 ， 1)$ 上均存在唯一不动点，分别记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{3} > x_{1} > x_{2}$ B、 $x_{2} > x_{3} > x_{1}$ C、 $x_{2} > x_{1} > x_{3}$ D、 $x_{3} > x_{2} > x_{1}$

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二、多选题

9. 为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A、频率分布直方图中 $a$ 的值为0.04 B、这100名学生中体重不低于60千克的人数为20 C、这100名学生体重的众数约为52.5 D、据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

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10. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，下列说法正确有（）

A、对于 $\forall m \in R$ ，直线 $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ 与圆 $O$ 都有两个公共点 B、圆 $O$ 与动圆 $C ： (x - k)^{2} + (y - \sqrt{3} k)^{2} = 4$ 有四条公切线的充要条件是 $| k | > 2$ C、过直线 $x + y - 4 = 0$ 上任意一点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线 $P A ， P B$ （ $A ， B$ 为切点），则四边形 $P A O B$ 的面积的最小值为4 D、圆 $O$ 上存在三点到直线 $x + y - 2 = 0$ 距离均为1

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11. 已知函数 $f_{n} (x) = s i n^{n} x + c o s^{n} x$ $(n \in N^{*})$ ，下列命题正确的有（）

A、 $f_{1} (2 x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有3个零点 B、要得到 $f_{1} (2 x)$ 的图象，可将函数 $y = \sqrt{2} c o s 2 x$ 图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、 $f_{4} (x)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ ，最大值为1 D、 $f_{3} (x)$ 的值域为 $[- 2 ， 2]$

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12. 已知双曲线 $E ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $C (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的左､右两支分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点，下列命题正确的有（）

A、当点 $C$ 为线段 $P Q$ 的中点时，直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ B、若 $A (- 1 ， 0)$ ，则 $∠ Q F_{2} A = 2 ∠ Q A F_{2}$ C、 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | > {| P O |}^{2}$ D、若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $B (0 ， \sqrt{3})$ ，则 $| P F_{1} | + | Q F_{1} | = | P B | + | Q B |$

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三、填空题

13. 已知夹角为 $6 0^{∘}$ 的非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ， $(2 \vec{a} - t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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14. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x) ， g (x)$ ，满足 $f (2 x + 3)$ 为偶函数， $g (x + 5) - 1$ 为奇函数，若 $f (1) + g (1) = 3$ ，则 $f (5) - g (9) =$ .

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15. 设 $x ， y$ 均为非零实数，且满足 $\frac{x s i n \frac{π}{5} + y c o s \frac{π}{5}}{x c o s \frac{π}{5} - y s i n \frac{π}{5}} = t a n \frac{9 π}{20}$ ，则 $\frac{y}{x} =$ .

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16. 正三棱锥 $P - A B C$ 的高为 $P O ， M$ 为 $P O$ 中点，过 $A M$ 作与棱 $B C$ 平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为 $V_{1} ､ V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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四、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = θ (0 < θ < π) ， A B = B C = C D = 1$ ， $A C ⊥ C D$ .

(1)、试用 $θ$ 表示 $B D$ 的长；

(2)、求 $A C^{2} + B D^{2}$ 的最大值.

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18. 为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A､B､C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植 $A$ 后会有 $\frac{1}{3}$ 的可能性种植 $B ， \frac{2}{3}$ 的可能性种植 $C$ ；在每次种植 $B$ 的前提下再种植 $A$ 的概率为 $\frac{1}{4}$ ，种植 $C$ 的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在每次种植 $C$ 的前提下再种植 $A$ 的概率为 $\frac{2}{5}$ ，种植 $B$ 的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、在第一次种植 $B$ 的前提下，求第三次种植 $A$ 的概率；

(2)、在第一次种植 $A$ 的前提下，求种植 $A$ 作物次数 $X$ 的分布列及期望.

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19. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D ⊥ C D ， A D / / B C ， A D = C D = 2 ， B C = 3$ ， $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 交于 $E ， G$ 为棱 $B B_{1}$ 上一点，且 $B B_{1} = 3 B G$ ，点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{10 \sqrt{17}}{17}$ .

(1)、判断 $A G$ 是否在平面 $A E D_{1}$ 内，并说明理由；

(2)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A A_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值.

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20. 已知首项不为0的等差数列 ${a_{n}}$ ，公差 $d \neq 0 ， a_{t} = 0$ （ $t$ 为给定常数）， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和，且 $S_{m_{1}} = S_{m_{2}} (m_{1} < m_{2}) ， {b_{n}}$ 为 $m_{2} - m_{1}$ 所有可能取值由小到大组成的数列.

(1)、求 $b_{n}$ ；

(2)、设 $c_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{(b_{n + 1} + 1) (b_{n} + 1)} ， T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{2 n} \leq - \frac{1}{6}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - x^{2} - x + 2$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在R上单调递增，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m < 0$ ，且 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| x_{1} - x_{2} | < 3 + \frac{m}{3}$ .

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22. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0) ， A$ 为椭圆 $C$ 上一点， $△ F_{1} A F_{2}$ 的面积最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $B ､ D$ 分别为椭圆 $C$ 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ､ Q$ （ $P$ 在上方， $Q$ 在下方，且均不与 $B ， D$ 点重合）两点，直线 $P B ， Q D$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{2} = - 3 k_{1}$ ，求 $△ P B Q$ 面积的最大值.

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