浙江省十校联盟2023届高三下学期数学2月第三次联考试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x ∣ 3^{x} < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{1} z_{2}$ 的模 $| z_{1} z_{2} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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3. 函数 $y = (x - 2)^{2} l n | x |$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (3 ， 1)$ ，则 $| 3 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 记 $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项积，已知 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ，则 $T_{10} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增，且 $f (\frac{π}{2}) = f (π)$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从 $A ， B ， C ， D ， E$ 这5种菜中任意选用2种，则 $A$ 菜有2人选用、 $B$ 菜有1人选用的情形共有（）

A、54 B、81 C、135 D、162

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8. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 2$ ， $f (4 - x) + f (x) = 4$ ，设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{10} [f (k) + f^{^{'}} (k + \frac{1}{2})] =$ （）

A、65 B、70 C、75 D、80

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二、多选题

9. 已知定义域为I的偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $\exists x_{0} \in I$ ，使 $f (x_{0}) < 0$ .则下列函数中符合上述条件的是（）

A、 $f (x) = x^{4} - 3$ B、 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $f (x) = l o g_{2} | x |$ D、 $f (x) = c o s x - 1$

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10. 已知随机变量从二项分布 $B (1001 ， \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $P (X = k) = C_{1001}^{k} {(\frac{1}{2})}^{1001}$ B、 $P (X \leq 301) = P (X \geq 701)$ C、 $P (X > E (X)) > \frac{1}{2}$ D、 $P (X = k)$ 最大时 $k = 500$ 或501

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴上方，若 $P F_{1}$ 的中点 $M$ 在以原点 $O$ 为圆心， $O F_{1}$ 为半径的圆上，则（）

A、点 $P$ 在第一象限 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$ C、 $P F_{1}$ 的斜率为 $2 \sqrt{2}$ D、直线 $P F_{1}$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 相切

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12. 数列 ${x_{n}}$ 定义如下： $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ，若对于任意 $n \geq 1$ ，数列的前 $2^{n}$ 项已定义，则对于 $2^{n} + 1 \leq k \leq 2^{n + 1}$ ，定义 $x_{k} = 2 x_{k - 2^{n}}$ ， $S_{n}$ 为其前n项和，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${x_{n}}$ 的第 $2^{n}$ 项为 $x_{2^{n}} = 2^{n}$ B、数列 ${x_{n}}$ 的第2023项为 $x_{2023} = 128$ C、数列 ${x_{n}}$ 的前 $2^{n}$ 项和为 $S_{2^{n}} = 3^{n}$ D、 $S_{2^{10} + 2^{5} + 2^{2}} = S_{2^{10}} + 2 S_{2^{5}} + 2^{2} S_{2^{2}}$

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三、填空题

13. $(1 + x) {(\frac{2}{x} - x)}^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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14. 已知随机事件A，B， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A ∣ B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (\bar{B} ∣ A) =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，E为边BC中点，若 $| B C | = 8$ ， $△ A C E$ 的外接圆半径为3，则 $A B^{2} + A C^{2}$ 的最大值为.

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16. 在三棱锥 $A B C D$ 中，对棱 $A B = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = B C = \sqrt{5}$ ， $A C = B D = \sqrt{5}$ ，则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.

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四、解答题

17. 某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
生活垃圾无害化处理量y
3.9
4.3
4.6
5.4
5.8
6.2
6.9
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据 $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 162.4$

(1)、求y关于x的线性回归方程；

(2)、根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为边BC上一点， $D C = 3$ ， $A D = 5$ ， $A C = 7$ ， $∠ D A C = ∠ A B C$ .

(1)、求 $∠ A D C$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 在数列 ${q_{n}}$ 中 $q_{1} = 2$ ， $q_{n + 1} = 2 - \frac{1}{q_{n}}$ ，在数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{2 n}}{a_{2 n - 1}} = \frac{a_{2 n + 1}}{a_{2 n}} = q_{n}$ .

(1)、求证数列 ${\frac{1}{q_{n} - 1}}$ 成等差数列并求 $q_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2 n - 1}} + \frac{1}{a_{2 n}} < 3 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ .

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20. 在三棱锥 $A^{^{'}} - A B C$ 中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点， $A D = A E = A^{'} D = A^{'} E = 2$ ， $A P ⊥ D E$ 于F.

(1)、证明：平面 $A A^{'} P ⊥$ 平面 $A^{^{'}} D E$ ；

(2)、当 $B E = 1$ ， $B C = 5$ ，二面角 $A^{'} - D E - P$ 的余弦值为 $\frac{3}{5}$ 时，求直线 $A^{'} B$ 与平面 $A^{^{'}} D E$ 所成角的正弦值.

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21. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F (3 ， 0)$ ， F到其中一条渐近线的距离为2.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 $x = \frac{5}{3}$ 于点M，
（i）求 $\frac{| A F | \cdot | B M |}{| A M | \cdot | B F |}$ 的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： $| M P | = | P Q |$ .

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22. 已知 $a > 2$ ，函数 $f (x) = x - a - (a - 1) l n \frac{x}{a}$ ， $x > 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、设 $f (x)$ 较小的零点为 $x_{1}$ ，证明： $a - 2 < x_{1} < a - 2 + \frac{1}{a}$ .

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年份	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022
年份代号x	1	2	3	4	5	6	7
生活垃圾无害化处理量y	3.9	4.3	4.6	5.4	5.8	6.2	6.9