上海市2023届高三数学二模暨秋考模拟试卷7

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq a} ， B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，若 $A ∩ B = {1 ， 2}$ ，则 $a$ 的最大值为.

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2. 已知复数 $z$ 等于 $\frac{1}{i}$ ，则 $z$ 的虚部是.

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3. $(x - \frac{1}{x^{2}})^{6}$ 的二项展开式中，常数项为.

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4. 已知函数 $f (x) = x + l n x - 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是.

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 ， B C = 3$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{B A} \cdot \vec{C P} =$ .

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切，则 $a =$ .

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7. 记 $T_{n} = - 1 + 1 + 3 + 5 ⋯ + (2 n + 1) (n \in N^{*})$ ，则 $T_{n}$ 为.

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8. 若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为.

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 有公共的焦点， $F$ 为右焦点， $O$ 为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于 $P$ 点，且点 $P$ 在第一象限，若 $O P ⊥ F P$ ，则椭圆的离心率等于.

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10. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $∠ B A D = 6 0^{°}$ ， $\vec{A P} = λ \vec{A B}$ （ $λ > 0$ ）．当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{A C} \cdot \vec{P D} =$ ；当 $\vec{A P} \cdot \vec{D P}$ 取得最小值时， $λ =$ ．

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11. 若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ （ $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ），且∠C为钝角，则∠B=； $\frac{c}{a}$ 的取值范围是.

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}$ ， $λ \in (0 ， 1)$ ， $N$ 为线段 $A Q$ 的中点，则下列命题中正确的序号为.
① $C N$ 与 $Q M$ 共面；
②三棱锥 $A - D M N$ 的体积跟 $λ$ 的取值无关；
③当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，过 $A ， Q ， M$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $\frac{4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{13}}{3}$ ；
④ $λ = \frac{1}{4}$ 时， $A M ⊥ Q M$ .

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二、单选题

13. 已知 $α$ ， $β \in R$ 则“ $s i n (α + β) = s i n 2 α$ ”是“ $β = α + 2 k π (k \in Z)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知点 $P (c o s θ ， s i n θ)$ 在直线 $a x - y + 3 = 0$ 上．则当 $θ$ 变化时，实数a的范围为（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2}] ∪ [2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 3] ∪ [3 ， + \infty)$

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15. 在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式 $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ 是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的（）参考数据： $l o g_{2} 3 = 1.58 ， l o g_{2} 5 = 2.32$ ．

A、2.4倍 B、2.3倍 C、2.2倍 D、2.1倍

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16. 半径为 $3$ 的圆的边沿有一点 $A$ ，半径为 $4$ 的圆的边沿有一点 $B$ ， $A$ 、 $B$ 两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动， $A$ 、 $B$ 两点再次重合小圆滚动的圈数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，求 $f (B) + f (C)$ 的取值范围.

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18. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 2$ ， $D ， E$ 分别为 $C C_{1}$ ， $A_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $E D / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的大小.

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19. 为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.
乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图
组别
每天日间户外活
动时间（单位：h）
人数
1
$[0 ， 1)$
120
2
$[1 ， 2)$
250
3
$[2 ， 3)$
60
4
$[3 ， 4]$
70
甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表

(1)、根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；

(2)、已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.

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20. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− $\frac{1}{2}$ .记M的轨迹为曲线C.

(1)、求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)、过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： $△ P Q G$ 是直角三角形；

（ii）求 $△ P Q G$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = a l n (x - a) - \frac{1}{2} x^{2} + x$ （ $a < 0$ ）．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $- 1 < a < 2 (l n 2 - 1)$ ，求证：函数 $f (x)$ 只有一个零点 $x_{0}$ ，且 $a + 1 < x_{0} < a + 2$ ；

(3)、当 $a = - \frac{4}{5}$ 时，记函数 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， x_{0}]$ 且 $x_{2} - x_{1} = 1$ ，都有 $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | \geq m$ ，求实数 $m$ 的最大值．

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组别	每天日间户外活动时间（单位：h）	人数
1	$[0 ， 1)$	120
2	$[1 ， 2)$	250
3	$[2 ， 3)$	60
4	$[3 ， 4]$	70