陕西省咸阳市2023届高三下学期理数一模试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x ⟨ - 2 或 x ⟩ 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、{-2} B、{1} C、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = 1 - 2 i$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\frac{2}{\bar{z} - i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 + i$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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4. 古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（）

A、11.1米 B、10.1米 C、11.11米 D、11米

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5. 设F为抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入 $a = \frac{1}{10}$ ，则输出s＝（）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{31}{32}$

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7. 已知α，β是两个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ b$ ，则 $b ∥ α$ B、若 $a ∥ β$ ， $α ∩ β = b$ ， $a ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $a ⊥ b$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = b$ ， $a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $A = 60 °$ ， $b = 1$ ， $\frac{b + c}{s i n B + s i n C} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折叠成三棱锥 $A - B C D$ ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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10. 某家族有 $X ， Y$ 两种遗传性状，该家族某成员出现 $X$ 性状的概率为 $\frac{4}{15}$ ，出现 $Y$ 性状的概率为 $\frac{2}{15}$ ， $X ， Y$ 两种性状都不出现的概率为 $\frac{7}{10}$ ，则该成员 $X ， Y$ 两种性状都出现的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{4}{15}$

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11. 直线 $l$ 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ）的右焦点 $F$ ，与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为原点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{A F} = 0$ ， $3 \vec{A F} = \vec{F B}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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12. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足：当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = - x^{3} + 3 x - 1$ ，且 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ．若关于x的方程 $f (x) = l o g_{a} (| x | + 1) (a > 1)$ 有8个实根，则a的取值范围为（）

A、 $(1 ， 6)$ B、 $(4 ， 6)$ C、 $(8 ， 10)$ D、 $(10 ， 12)$

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二、填空题

13. 受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有种（用数字作答）．

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14. 已知半径为1的圆过点 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则该圆圆心到原点距离的最大值为．

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15. 设函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)$ 相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $| f (\frac{π}{3}) | = A$ ，则 $| φ |$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{| x |} ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f^{2} (x) - 3 f (x) + 2$ 零点的个数是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项之积为 $S_{n} = 2^{\frac{n (n - 1)}{2}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设公差不为0的等差数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ ， _______，求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．请从① $b_{2}^{2} = b_{4}$ ；② $b_{3} + b_{5} = 8$ 这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．

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18. 某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生（其中女生220名）平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：
平均每天锻炼时间（分钟）
$[0 ， 10)$
$[10 ， 20)$
$[20 ， 30)$
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60]$
人数
40
72
88
100
80
20
将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”．

(1)、完成下面2×2列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关？

锻炼达标生
锻炼不达标
合计
男
女
合计
400
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq K_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.001
$K_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(2)、在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取10人进行体育锻炼体会交流，再从这10人中选2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = A A_{1}$ ， D为 $C C_{1}$ 上一点．

(1)、证明：当D为 $C C_{1}$ 的中点时，平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 90 °$ ，异面直线AB和 $A_{1} D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 时，求二面角
$B - A_{1} D - A$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，它的四个顶点构成的四边形的面积为4．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $M (m ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切且与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| A B |$ 的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x}} (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意的 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (x) \geq k x$ 恒成立，求证： $k < \frac{2}{π e}$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 s i n θ$ ．

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $P (1 ， 2)$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、设 $f (x)$ 的最小值为m，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m (a ， b ， c \in (0 ， + \infty))$ ，求证 $a + 2 b + 3 c ≥ 3$ ．

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平均每天锻炼时间（分钟）	$[0 ， 10)$	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60]$
人数	40	72	88	100	80	20

$P (K^{2} \geq K_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$K_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	锻炼达标生	锻炼不达标	合计
男
女
合计			400