陕西省西安市周至县2023届高三下学期一模理科数学试题

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 命题：“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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2. 设集合 $A = {x | 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > a}$ ，若 $A ∩ B = A$ ，则 $a$ 的范围是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \geq 1$ D、 $a \leq 2$

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3. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{3} = 10$ ， $S_{9} = 30$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、15 B、20 C、25 D、－25

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5. 下列区间中，函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x - c o s x$ 单调递增的区间是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， π)$ C、 $(π ， \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

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6. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 $π$ 的范围是： $3.1415926 < π < 3.1415927$ ，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（）

A、240 B、360 C、480 D、720

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7. 设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面．则“ $α$ 中有三个不共线的点到 $β$ 的距离相等”是“ $α / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40 $m m$ ，满盘时直径为120 $m m$ ，已知卫生纸的厚度为0.1 $m m$ ，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（π≈3.14，精确到1 $m$ ）

A、60 $m$ B、80 $m$ C、100 $m$ D、120 $m$

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9. 某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

A、甲获得冠军的概率最大 B、甲比乙获得冠军的概率大 C、丙获得冠军的概率最大 D、甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等

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10. 对于函数 $f (x)$ ，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in R$ ， $f (x_{1})$ ， $f (x_{2})$ ， $f (x_{3})$ 为某一三角形的三边长，则称 $f (x)$ 为“可构成三角形的函数”，已知 $f (x) = \frac{x^{2} + t}{x^{2} + 1}$ 是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段 $P Q$ 的垂直平分线恰好过右焦点 $F_{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、2

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12. 过点 $(1 ， 2)$ 可作三条直线与曲线 $f (x) = x^{3} - 3 x + a$ 相切，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数m的值为.

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14. 若抛物线y²=2x上的一点M到坐标原点O的距离为 $\sqrt{3}$ ，则点M到该抛物线焦点的距离为．

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15. 若定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减，且不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ ，则符合题意的一个函数解析式为 $f (x) =$ .

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16. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过 $n$ 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于 $\frac{99}{100}$ ，则 $n$ 的最小值为.（参考数据： $l g 2 \approx 0.301 ， l g 3 \approx 0.477$ ）

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 $(c - 2 a) c o s B + b c o s C = 0$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为6， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学偏差x/分
20
15
13
3
2
-5
-10
-18
物理偏差y/分
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
-0.5
-2.5
-3.5
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 1256$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 324$ .

(1)、若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)、若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为70.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， E为 $B B_{1}$ 的中点， $A C = 1$ ， $C C_{1} = B C = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥ C_{1} E$ ；

(2)、求平面 $A E C_{1}$ 与平面ABC所成角的余弦值.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点 $F_{2} (c ， 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设椭圆C的左焦点为 $F_{1}$ ，过点 $D (- 3 ， 0)$ 的直线l与椭圆C交于 $A ， B$ 两点，A关于x轴对称的点为M，证明： $M ， F_{1} ， B$ 三点共线.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；

(3)、证明： $e^{x} - l n (x + 2) > 0$ .

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ - 4 c o s θ = 0$ .

(1)、求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知直线l与曲线C交于A，B两点，设 $M (2 ， 0)$ ，求 $| \frac{1}{| M A |} - \frac{1}{| M B |} |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x - 2 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 2 a - 1$ ，求 $a$ 的取值范围

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学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差x/分	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差y/分	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5