陕西省西安市鄠邑区2023届高三下学期理数第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 2, 或 x = 3}$

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2. 计算： $\frac{1 + i}{1 - i} =$ （）

A、1 B、-1 C、i D、-i

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3. 设 $k \in R$ ，下列向量中，可与向量 $\vec{q} = (1 ， - 1)$ 组成基底的向量是（）

A、 $\vec{b} = (k ， k)$ B、 $\vec{c} = (- k ， - k)$ C、 $\vec{d} = (k^{2} + 1 ， k^{2} + 1)$ D、 $\vec{e} = (k^{2} - 1 ， k^{2} - 1)$

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4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b x^{2}$ C、 $y = a + b e^{x}$ D、 $y = a + b \ln x$

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5. 已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）

A、s＞3？ B、s＞5？ C、s＞10？ D、s＞15？

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6. 若 $x < 0$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = l o g_{6} 4$ ，则关于a、b、c的大小关系，下列说法正确的是（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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7. 已知 $m$ ， $n$ ， $l$ 为三条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A、 $α ∥ β$ ， $m ⊊ α$ ， $n ⊊ β \Rightarrow m ∥ n$ B、 $l ⊥ β$ ， $α ⊥ β \Rightarrow l ∥ α$ C、 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n \Rightarrow n ∥ α$ D、 $α ∥ β$ ， $l ⊥ α \Rightarrow l ⊥ β$

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8. 设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为-1的等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和，若 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列，则 $a_{1}$ =（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9. 函数 $f (x) = (3 - x^{2}) \cdot ln | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在区间[0，2]上随机取一个数x，使 $s i n \frac{π}{2} x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 设离心率为 $e$ 的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过焦点 $F$ ，且斜率为 $k$ ，则直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右两支都相交的充要条件是（）

A、 $k^{2} - e^{2} > 1$ B、 $e^{2} - k^{2} > 1$ C、 $k^{2} - e^{2} < 1$ D、 $e^{2} - k^{2} < 1$

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12. 已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 3$ ，且 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 在 $R$ 上恒有 $f^{'} (x) < 2 (x \in R)$ ，则不等式 $f (x) < 2 x + 1$ 的解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是.

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14. 已知 $a = \int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x} d x$ ，则二项式 $(1 - \frac{a}{x})^{6}$ 的展开式中 $x^{- 3}$ 的系数为．

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，现有下面四个命题：
①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；
③三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的体积为定值；④三棱锥 $E - A_{1} B D$ 外接球的体积为定值．
其中所有真命题的序号是．

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16. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为.

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三、解答题

17. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，又函数g(x)=f(x+ $\frac{π}{8}$ ).

(1)、求函数g(x)的单调增区间；

(2)、设 $△$ ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，又c= $\sqrt{3}$ ，且锐角C满足g(C)=-1，若sinB=2sinA，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 通过随机调查大学生在购物时是否先询问价格得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

男
女
总计
先询问价格
16
28
44
不先询问价格
20
8
28
总计
36
36
72
附：
$P (K^{2} \geq k)$
0.010
0.005
0.001
$k$
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、根据以上 $2 \times 2$ 列联表判断，能否在反错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否先询问价格有关系？

(2)、从被调查的28名不先询问价格的大学生中，随机抽取2名学生调查其优先关注哪个方面的问题，求抽到女生人数 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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19. 如图，在空间几何体 $A B C D E$ 中，平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ ， $Δ A C D$ 与 $Δ A C B$ 都是边长为2的等边三角形， $B E = 2$ ，点 $E$ 在平面 $A B C$ 上的射影在 $∠ A B C$ 的平分线上，已知 $B E$ 和平面 $A C B$ 所成角为 $60 °$ .

(1)、求证： $D E ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $E - B C - A$ 的余弦值.

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20. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点.若 $P$ 是该椭圆上的一个动点， $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}}$ 的最大值为1.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $l ： x = k y - 1$ 与椭圆交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且 $∠ A O B$ 为锐角(其中 $O$ 为坐标原点)，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (a + 2) x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ ，证明： $f (x) \leq - \frac{2}{a} - 2$ .

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22. 已知直线 $l ： {\begin{matrix} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 cos θ$

(1)、将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程

(2)、设点 $M$ 的直角坐标为 $(5 ， \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A B$ ，求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = m - | x - 1 | - | x + 1 |$ .

(1)、当 $m = 5$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象恒有公共点，求实数 $m$ 的取值范围.

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	男	女	总计
先询问价格	16	28	44
不先询问价格	20	8	28
总计	36	36	72

$P (K^{2} \geq k)$	0.010	0.005	0.001
$k$	6.635	7.879	10.828