山西省忻州市2023届高三下学期数学百日冲刺试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 - x < 1}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x^{2} - 4 x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $[0 ， 2)$

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2. 已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，点 $A (4 ， 2)$ 在抛物线C上，则 $| A F | =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、8 D、 $4 \sqrt{5}$

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3. 已知 $a > 2$ ，则 $2 a + \frac{8}{a - 2}$ 的最小值是（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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4. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A = P D = \sqrt{2} A B$ ， $E ， F$ 分别是棱 $B C ， P D$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $A B$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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5. 已知直线 $l_{1}$ ： $(a - 1) x - (2 a + 3) y + a + 4 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - m - 2 = 0$ ，则“ $m > 2$ ”是“直线l与圆C一定相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 溶液酸碱度是通过 $p H$ 计量的， $p H$ 的计算公式为 $p H = - l g [H^{+}]$ ，其中 $[H^{+}]$ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的 $p H$ 值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（）（取 $l g 2 = 0.301$ ， $l g 3 = 0.477$ ）

A、 $1.2 \times 1 0^{- 3}$ 摩尔/升 B、 $1.2 \times 1 0^{- 4}$ 摩尔/升 C、 $6 \times 1 0^{- 3}$ 摩尔/升 D、 $6 \times 1 0^{- 4}$ 摩尔/升

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7. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（）

A、120种 B、240种 C、420种 D、720种

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8. 若函数 $f (x) = 4 c o s (2 x + φ) - 2 \sqrt{2} (0 ≤ φ ≤ π)$ 在 $[0 ， \frac{11 π}{6}]$ 内恰有4个零点，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{π}{2} ， \frac{7 π}{12}]$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{π}{2} ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{7 π}{12} ， π]$ D、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{7 π}{12} ， π]$

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二、多选题

9. 下列关于非零复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的结论正确的是（）

A、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数，则 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ B、若 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数 C、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = 1$ D、若 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = 1$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数

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10. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x - y > l n \frac{y}{x}$ ，则（）

A、 $x > y$ B、 $x + \frac{1}{y} > y + \frac{1}{x}$ C、 $l n (x - y) < 0$ D、 $\frac{1}{2^{x}} < 2^{- y}$

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11. 若 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ ，点M满足 $∠ A M B = ∠ A M C = ∠ B M C = 120 °$ ，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知 $\vec{a}$ 是平面内任意一个向量，向量 $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，且 $| \vec{b} | = 2 | \vec{c} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{c} | + | \vec{a} + \vec{c} |$ 的取值可以是（）

A、9 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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12. 已知 $f^{'} (x) ， g^{'} (x)$ ，分别是定义在R上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数， $f (x + 1) - g (3 - x) = 3$ ， $f^{'} (x - 2) = g^{'} (x + 2)$ ，且 $f (x + 1)$ 是奇函数，则（）

A、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 4$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 C、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} g (k) = 0$

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三、填空题

13. 某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是．

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{3} = 62$ ， $a_{2} + a_{4} = 31$ ，则当 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 取得最大值时， $n =$ ．

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15. 一个正方体的体积为m立方米，表面积为n平方米，则 $m - n$ 的最小值是，此时，该正方体内切球的体积是立方米．

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，直线l： $y = \sqrt{3} x$ 与双曲线C交于A，B两点，若 $A F ⊥ A B$ ，则双曲线C的离心率是．

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四、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{5} = 10$ ， $S_{7} = 49$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} S_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和．

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18. 某校为了解高三年级学生的学习情况，进行了一次高考模拟测试，从参加测试的高三学生中随机抽取200名学生的成绩进行分析，得到如下列联表：

本科分数线以下
本科分数线以上（包含本科分数线）
合计
男
40
80
120
女
32
48
80
合计
72
128
200
将频率视为概率．

(1)、从该校高三男、女学生中各随机抽取1名，求这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；

(2)、从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的男生人数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $c o s 2 A + c o s (B + C) = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，且 $△ A B C$ 的面积是 $6 \sqrt{3}$ ，求AD的最小值．

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20. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ，平面ADE⊥平面ABCD， $A E ∥ B F$ ， $D E = \sqrt{2} A D = \sqrt{2} A E$ ．

(1)、证明：BD⊥平面ACE．

(2)、若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，求BF的长．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $A (1 ， \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ 在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $M (0 ， 3)$ 的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围．

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	本科分数线以下	本科分数线以上（包含本科分数线）	合计
男	40	80	120
女	32	48	80
合计	72	128	200