山东省潍坊市2023届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{2 + i}{2 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. “ $b \in (- 2 ， 2)$ ”是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - b x + 1 \geq 0$ 成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩 $ξ$ 近似服从正态分布 $N (100 ， σ^{2})$ ，若 $P (80 \leq ξ \leq 100) = 0.45$ ，则估计成绩在120分以上的学生人数为（）

A、25 B、50 C、75 D、100

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4. 存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x ∈ R$ 都有（）

A、 $f (| x |) = x^{3}$ B、 $f (s i n x) = x^{2}$ C、 $f (x^{2} + 2 x) = | x |$ D、 $f (| x |) = x^{2} + 1$

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5. 已知角 $α$ 在第四象限内， $s i n (2 α + \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 $6 0^{∘}$ 的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为 $\frac{1}{3}$ ，则圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{35} π}{2}$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $8 π$

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7. 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、60种

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8. 单位圆 $O ：$ $x^{2} + y^{2} = 1$ 上有两定点 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ 及两动点 $C ， D$ ，且 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = \frac{1}{2}$ .则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} + \vec{D A} \cdot \vec{D B}$ 的最大值是（）

A、 $2 + \sqrt{6}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} - 2$ D、 $2 \sqrt{3} - 2$

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二、多选题

9. 若非空集合 $M ， N ， P$ 满足： $M ∩ N = N ， M ∪ P = P$ ，则（）

A、 $P \subseteq M$ B、 $M ∩ P = M$ C、 $N ∪ P = P$ D、 $M ∩ ∁_{p} N = \emptyset$

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10. 将函数 $y = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{π}{2} ， k π] (k \in Z)$

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11. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左，右焦点，过 $C$ 右支上一点 $A (x_{0} ， y_{0})$ $(x_{0} > \sqrt{3})$ 作直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $M (\frac{3}{x_{0}} ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ .则（）

A、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、点 $N$ 的坐标为 $(0 ， \frac{1}{y_{0}})$ C、过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} H ⊥ A M$ ，垂足为 $H$ ，则 $| O H | = \sqrt{3}$ D、四边形 $A F_{1} N F_{2}$ 面积的最小值为4

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12. 已知 $1 < m < n$ ，过点 $(m ， l o g_{2} m)$ 和 $(n ， l o g_{2} n)$ 的直线为 $l_{1}$ .过点 $(m ， l o g_{8} m)$ 和 $(n ， l o g_{8} n)$ 的直线为 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 在 $y$ 轴上的截距相等，设函数 $f (x) = m^{n x} + n^{- m x}$ .则（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、若 $m = 2$ ，则 $f (1) = 32$ C、若 $f (2) = 6$ ，则 $f (4) = 34$ D、 $m ， n$ 均不为 $e$ （ $e$ 为自然对数的底数）

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三、填空题

13. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{7} + a_{9} = 6$ ，则 $S_{13} =$ .

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14. 已知抛物线 $C$ 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的 $C$ 的标准方程.

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15. 在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为.

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16. 乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{4}$ ，每局比赛都是相互独立的.
①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为.
②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为.
附：当 $0 < q < 1$ 时， $\underset{n \to + \infty}{l i m} q^{n} = 0$ ， $\underset{n \to + \infty}{l i m} n \cdot q^{n} = 0$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2^{n} + m (m \in R)$ .

(1)、求 $m$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = | l o g_{2} a_{n} - 5 |$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在① $t a n A t a n C - \sqrt{3} t a n A = 1 + \sqrt{3} t a n C$ ；② $(2 c - \sqrt{3} a) c o s B = \sqrt{3} b c o s A$ ；③ $(a - \sqrt{3} c) s i n A + c s i n C = b s i n B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、已知 $c = b + 1$ ，且角 $A$ 有两解，求 $b$ 的范围.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P C ⊥ P D$ ，二面角 $A - C D - P$ 为直二面角.

(1)、求证： $P B ⊥ P D$ ；

(2)、当 $P C = P D$ 吋，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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20. 某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位： $c m$ ）与父亲身高x（单位： $c m$ ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高 $x$
160
170
175
185
190
儿子身高 $y$
170
174
175
180
186
参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} = 880 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 155450 ， \sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 885 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 156045$
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据表中数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？

(2)、记 ${\hat{e}}_{i} = y_{i} - {\hat{y}}_{i} = y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a} ， (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，其中 $y_{i}$ 为观测值， ${\hat{y}}_{i}$ 为预测值， ${\hat{e}}_{i}$ 为对应 $(x_{i} ， y_{i})$ 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} l n x ， g (x) = x^{2} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $x \in (0 ， 2)$ 吋， $f (x) \leq g (x)$ .

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $l ： y = k (x + 1) (k > 0)$ 与 $E$ 交于不同的两点 $M ， N$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设点 $P (1 ， 0)$ ，直线 $P M ， P N$ 与 $E$ 分别交于点 $C ， D$ .
①判段直线 $C D$ 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：
②记直线 $C D ， M N$ 的倾斜角分别为 $α ， β$ ，当 $α - β$ 取得最大值时，求直线 $C D$ 的方程.

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父亲身高 $x$	160	170	175	185	190
儿子身高 $y$	170	174	175	180	186