山东省日照市2023届高三数学一模考试试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3]$ C、 $(- 1 ， 3]$ D、 $(- \infty ， 3]$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + 6 i}{1 - i}$ ， $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 的大小如图所示，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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4. 红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为 $R$ ，球冠的高为 $h$ ，则球冠的面积 $S = 2 π R h$ .如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（）

A、 $1940 π c m^{2}$ B、 $2350 π c m^{2}$ C、 $2400 π c m^{2}$ D、 $2540 π c m^{2}$

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5. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、13 B、12 C、8 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，设命题 $p$ ： $2^{x} + 2^{y} \geq 4$ ，命题 $q$ ： $x y \geq 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2 S_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，若存在正整数 $p ， q (p < q)$ ，使得 $b_{1}$ ， $b_{p}$ ， $b_{q}$ 成等差数列，则（）

A、 $p = 1$ B、 $p = 2$ C、 $p = 3$ D、 $p = 4$

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8. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A (- 2 ， 2)$ 为椭圆 $C$ 内一点，点 $Q (a ， b)$ 在双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上，若椭圆上存在一点 $P$ ，使得 $| P A | + | P F_{2} | = 8$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{5} + 1 ， 5]$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $(\sqrt{5} + 1 ， 2 \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{3} ， \sqrt{5}]$

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二、多选题

9. 已知 $\bar{A} ， \bar{B}$ 分别为随机事件 $A ， B$ 的对立事件， $P (A) > 0 ， P (B) > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ B、 $P (A ∣ B) + P (\bar{A} ∣ B) = 1$ C、若 $A ， B$ 互斥，则 $P (A B) = P (A) P (B)$ D、若 $A ， B$ 独立，则 $P (A ∣ B) = P (A)$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 过对角线 $B D_{1}$ 作平面 $α$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $E$ ，交棱 $C C_{1}$ 于点F，则（）

A、平面 $α$ 分正方体所得两部分的体积相等 B、四边形 $B F D_{1} E$ 一定是菱形 C、四边形 $B F D_{1} E$ 的面积有最大值也有最小值 D、平面 $α$ 与平面 $D B B_{1}$ 始终垂直

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11. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) - 1$ 是奇函数，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}} + 1$ ；当 $x > 2$ 时， $f (x) = 2^{| x - 4 |} + 1$ .当 $k$ 变化时，函数 $g (x) = f (x) - k x - 1$ 的所有零点从小到大记为 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + ⋯ + f (x_{n})$ 的值可以为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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12. 已知 $a > b ， c > d ， \frac{e^{a}}{a + 1} = \frac{e^{b}}{b + 1} = 1.01 ， (1 - c) e^{c} = (1 - d) e^{d} = 0.99$ ，则（）

A、 $a + b > 0$ B、 $c + d > 0$ C、 $a + d > 0$ D、 $b + c > 0$

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三、填空题

13. 在 ${(1 - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为.

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14. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，其图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则 $f (\frac{π}{4}) =$ .

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15. 对任意正实数 $a$ ，记函数 $f (x) = | l g x |$ 在 $[a ， + \infty)$ 上的最小值为 $m_{a}$ ，函数 $g (x) = s i n \frac{π x}{2}$ 在 $[0 ， a]$ 上的最大值为 $M_{a}$ ，若 $M_{a} - m_{a} = \frac{1}{2}$ ，则 $a$ 的所有可能值.

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16. 设棱锥 $M - A B C D$ 的底面为正方形，且 $M A = M D$ ， $M A ⊥ A B$ ，如果 $△ A M D$ 的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为.

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四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{3}}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{n + 1} = n^{2} + n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{3 a_{1}} + \frac{2}{4 a_{2}} + ⋯ + \frac{n}{(n + 2) a_{n}} < \frac{1}{4}$ .

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18. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c是角A，B，C所对的边， $a s i n \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ，且 $a = 1$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $A C = B C$ ，在 $△ A B C$ 的边AB，AC上分别取D，E两点，使 $△ A D E$ 沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.

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19. 如图，已知圆锥 $P - A B C$ ， AB是底面圆О的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点， $P A = 2 \sqrt{3}$ .设二面角 $P - A C - B$ 与二面角 $P - B C - A$ 的大小分别为 $α$ 与 $β$ .

(1)、求 $\frac{1}{t a n^{2} α} + \frac{1}{t a n^{2} β}$ 的值；

(2)、若 $t a n β = \sqrt{3} t a n α$ ，求二面角 $A - P C - B$ 的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F ， E$ 为 $C$ 上的动点， $E Q$ 垂直于动直线 $y = t (t < 0)$ ，垂足为 $Q$ ，当 $△ E Q F$ 为等边三角形时，其面积为 $4 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，过点 $E$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相切，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $O Q$ 与 $A B$ 交于点 $M$ ，试问：是否存在 $t$ ，使得 $| A M | = | B M |$ ？若存在，求 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{2}{3}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知 $p_{1} = 1 ， p_{2} = 0$ ．
①试证明： ${p_{n} - \frac{1}{3}}$ 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p₁₀与q₁₀的大小．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - a}$ ， $g (x) = l n x + a (a \in R)$ .

(1)、若直线 $y = x$ 是 $y = g (x)$ 的切线，函数 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 1 \\ g (x) ， x > 1 \end{array}$ 总存在 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $F (x_{1}) + F (x_{2}) = 2$ ，求 $x_{1} + F (x_{2})$ 的取值范围；

(2)、设 $G (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $| G (x) | = b$ 恰有三个不等实根，证明： $a - \frac{1}{a} < b < 2 a - 2$ .

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