上海市杨浦区2022年二模数学试题

试卷更新日期：2023-03-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各式中，运算结果是分数的是（）

A、 $s i n 30 °$ B、 ${(\frac{π}{2})}^{0}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{- 1}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{4}}$

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2. 下列方程中，二元一次方程的是（）

A、 $x y = 1$ B、 $x^{2} - 1 = 0$ C、 $x - y = 1$ D、 $x + \frac{1}{y} = 1$

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3. 在一次引体向上的测试中，如果小明等5位同学引体向上的次数分别为：6、8、9、8、9，那么关于这组数据的说法，正确的是（）

A、平均数是8.5 B、中位数是9 C、众数是8.5 D、方差是1.2

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4. 一次函数y=﹣x+2的图象不经过的象限是（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 下列命题中，正确的是（）

A、正多边形都是中心对称图形 B、正六边形的边长等于其外接圆的半径 C、边数大于3的正多边形的对角线长都相等 D、各边相等的圆外切多边形是正多边形

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6. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）

A、AD＝BC B、AB＝CD C、∠DAB＝∠ABC D、∠DAB＝∠DCB

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二、填空题

7. $a^{8} \div a^{4} =$ ．

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 - x < 0 ， \\ 2 x - 12 < 0 \end{array}$ 的解集是．

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9. 方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解为．

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10. 如果关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，那么实数k的值是.

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11. 如果某种商品每8千克的售价为32元，那么这种商品m千克的售价为元．

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12. 正比例函数 $y = k x$ 中，如果函数值y随着自变量x的增大而增大，那么k的取值范围是．

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13. 在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和15个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是．

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14. 为了了解全区近4800名初三学生数学学习状况，从中随机抽取500名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据可含最低值，不含最高值）
分组（分）
40～50
50～60
60～70
70～80
80～90
90～100
频数
12
18
160
频率
0.18
0.04
根据上表信息，由此样本请你估计全区此次成绩在70~80分的人数大约是．

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15. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B 、 A C$ 上， $D E$ // $B C ， B D = 2 A D ， \vec{A B} = \vec{m} ， \vec{D E} = \vec{n}$ ，那么 $\vec{A C} =$ ．（用 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 表示）．

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16. 一架飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为 $60 °$ ，此时飞机与该地面控制点之间的距离是米.

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17. 新定义：在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 的中点，如果 $\overset{⌢}{D E}$ 上的所有点都在 $△ A B C$ 的内部或边上，那么 $\overset{⌢}{D E}$ 称为 $△ A B C$ 的中内弧．已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 的中点，如果 $\overset{⌢}{D E}$ 是 $△ A B C$ 的中内弧，那么 $\overset{⌢}{D E}$ 长度的最大值等于．

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18. 已知钝角 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B = B C$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A O$ 所在直线翻折，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，联结 $B B^{'} 、 C C^{'}$ ，如果 $B B^{'} ： C C^{'} = 4 ： 3$ ，那么 $t a n ∠ B A C$ 的值为．

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三、解答题

19. 先化简再计算： $\frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 1} \div \frac{a^{2} - 2 a}{a + 1} + \frac{1}{a - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - y = 2 ， \\ x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} = 0. \end{array}$

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21. 如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为点E， $A D = 17 ， A B = 20 ， c o s A = \frac{8}{17}$ ．

(1)、求平行四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、连接 $C E$ ，求 $s i n ∠ B C E$ 的值．

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22. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当 $0 \leq x < 10$ 和 $10 \leq x < 20$ 时，图像是线段；当 $20 \leq x \leq 40$ 时，图像是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：

(1)、点A的注意力指标数是．

(2)、当 $0 \leq x < 10$ 时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；

(3)、张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．

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23. 已知：如图，矩形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，点E、F分别是线段 $O C 、 O D$ 的中点，联结 $A F 、 B E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B E F$ 是等腰梯形；

(2)、过点O作 $O M ⊥ A B$ ，垂足为点M，联结 $M E$ ，如果 $∠ O M E = ∠ B A C$ ，求证：四边形 $A M E F$ 是菱形．

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24. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴相交于点 $B (0 ， 3)$ ，在x轴上有一动点 $E (m ， 0) (0 < m < 4)$ ，过点E作x轴的垂线交线段 $A B$ 于点N，交抛物线于点P，过P作 $P M ⊥ A B$ ，垂足为点M．

(1)、求这条抛物线的表达式；

(2)、设 $△ P M N$ 的周长为 $C_{1}$ ， $△ A E N$ 的周长为 $C_{2}$ ，如果 $\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{6}{5}$ ，求点P的坐标；

(3)、如果以N为圆心， $N A$ 为半径的圆与以 $O B$ 为直径的圆内切，求m的值．

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25. 已知在扇形 $A O B$ 中，点C、D是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的两点，且 $\overset{⌢}{C D} = 2 \overset{⌢}{A C} ， ∠ A O B = 130 ° ， O A = 10$ ．

(1)、如图1，当 $O D ⊥ O A$ 时，求弦 $C D$ 的长；

(2)、如图2，联结 $A D$ ，交半径 $O C$ 于点E，当 $O D$ // $A C$ 时，求 $\frac{A E}{E D}$ 的值；

(3)、当四边形 $B O C D$ 是梯形时，试判断线段 $A C$ 能否成为 $⊙ O$ 内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由．

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分组（分）	40～50	50～60	60～70	70～80	80～90	90～100
频数	12	18	160
频率					0.18	0.04