山东省2023届高考数学考向核心卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x < 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 3 x + 2 < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 2 \leq x < 4}$ D、 ${x | 1 < x < 4}$

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2. 若复数z满足 $i \cdot (2 z - 3) = 7 + 2 i$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $\frac{5}{2} i$ D、 $- \frac{7}{2} i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (m^{2} ， - 9)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，则“ $m = - 3$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图，用 $K$ 、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 三类不同的元件连接成一个系统，当 $K$ 正常工作且 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 $K$ 、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 正常工作的概率依次是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{2}{3}$ ，已知在系统正常工作的前提下，求只有 $K$ 和 $A_{1}$ 正常工作的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{9}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，首项 $a_{1} > 0$ ，若 $\frac{a_{1004}}{a_{1005}} < - 1$ ，则使得 $S_{n} > 0$ 的n的最大值为（）

A、2007 B、2008 C、2009 D、2010

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $f (- \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + y = 1$ ，且不等式 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y} < m^{2} + \frac{3}{2} m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $m < - 3$ 或 $m > \frac{3}{2}$ B、 $m < - \frac{3}{2}$ 或 $m > 3$ C、 $- \frac{3}{2} < m < 3$ D、 $- 3 < m < \frac{3}{2}$

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8. 记 $m a x {p ， q} = {\begin{array}{l} p ， p \geq q \\ q ， q > p \end{array}$ ，设函数 $f (x) = m a x {e^{x - 2} - 1 ， - x^{2} + m x - \frac{1}{2}}$ ，若函数 $f (x)$ 恰有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围的是（）

A、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{2}) ∪ (\sqrt{2} ， \frac{9}{4})$ C、 $(- \infty ， - \frac{9}{4}) ∪ (\sqrt{2} ， \frac{9}{4})$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{2}) ∪ (\sqrt{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）

A、所有不同分派方案共 $4^{3}$ 种 B、若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C、若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 $A$ 企业，则所有不同分派方案共12种 D、若 $C$ 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

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10. 已知 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f (x) = x^{3} - f^{'} (0) x^{2} - x + 1$ ，则（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f^{'} (0) = - 1$ C、 $f (x)$ 的图象在 $x = - 1$ 处的切线的斜率为0 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为1

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11. 如图1，在菱形ABCD中， $A D = 2$ ， $∠ A D C = 60 °$ ，将 $△ A B C$ 沿AC折起，使点B到达点P的位置，形成三棱锥 $P - A C D$ ，如图2.在翻折的过程中，下列结论正确的是（）

A、 $A C ⊥ P D$ B、三棱锥 $P - A C D$ 体积的最大值为3 C、存在某个位置，使 $A D ⊥ P C$ D、若平面 $A P C ⊥$ 平面ACD，则直线AD与平面PCD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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12. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $G (0 ， 1)$ ，抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ．过点 $G$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点，直线 $A P ， A Q$ 分别与 $C$ 交于另一点 $E ， F$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $y_{1} + y_{2} = y_{1} y_{2}$ B、直线 $E F$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ C、若 $△ P O E$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $\vec{O E}$ 与 $\vec{O P}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ D、若 $M$ 为抛物线 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的一点， $| A M | = t | M B |$ ，则当 $t$ 取最大值时， $△ A B M$ 的面积为2

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = - 2 + l n x$ ，过点 $P (0 ， - 2)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l$ ，则 $l$ 的方程为.

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14. 已知 $(2 x - 1) {(x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ .（用数字作案）

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15. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (x + \frac{π}{4}) c o s (x - \frac{π}{4}) + s i n x$ ，若对任意实数 $x$ ，恒有 $f (a_{1}) \leq f (x) \leq f (a_{2})$ ，则 $c o s (a_{1} - a_{2}) =$ ．

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16. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，且 $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = a$ ，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥 $M - B C D$ 的外接球的表面积最小时，CM的长为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n} - S_{n} = 1$ .

(1)、求 $a_{n}$ 与 $S_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 在① $a c o s C + c c o s A = \frac{5}{4} b c o s B$ ， ② $5 s i n (\frac{π}{2} + B) + 5 s i n (- B) = 1$ ， ③ $B \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 B = c o s B - \frac{13}{25}$ ．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____．

(1)、求 $t a n 2 B$ 的值；

(2)、若 $t a n A = - \frac{12}{5} ， c = \frac{11}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长与面积．

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19. 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

非常喜欢
喜欢
合计
A
30
15
B
x
y
合计
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35．
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ，
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

(1)、现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)、完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)、若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

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20. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4， $△ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求A到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设D为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，斜率为-3的直线l与双曲线C交于 $A ， B$ 两点，点 $M (4 ， - 2 \sqrt{2})$ 在双曲线C上，且 $| M F_{1} | \cdot | M F_{2} | = 24$ .

(1)、求 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积；

(2)、若 $\vec{O B} + \vec{O B^{'}} = 0$ （O为坐标原点），点 $N (3 ， 1)$ ，记直线 $N A ， N B^{'}$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，问： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = - x + l n x$ ， $g (x) = x e^{x} - 2 x - m$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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	非常喜欢	喜欢	合计
A	30	15
B	x	y
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828