辽宁省鞍山市铁西区2022年九年级第二次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2023-03-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 若 $x + | x | = 0$ ，那么实数x一定是（）

A、负数 B、正数 C、零 D、非正数

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2. 下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，下列条件中，能判定 $D E ∥ A C$ 的是（）

A、 $∠ E D C = ∠ E F C$ B、 $∠ A F E = ∠ A C D$ C、 $∠ D E C = ∠ E C F$ D、 $∠ F E C = ∠ B C E$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{3} = a^{9}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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5. 一元二次方程x²﹣3x+1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁²+3x₂+x₁x₂﹣2的值是（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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6. 如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长度为（）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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7. 如图，在边长为6的菱形ABCD中， $∠ D A B = 60 °$ ，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $18 - 3 π$ B、 $18 \sqrt{3} - 9 π$ C、 $9 \sqrt{3} - \frac{9 π}{2}$ D、 $9 \sqrt{3} - 9 π$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - x^{2} + b x + 3$ 的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点 $C (3 ， 0)$ ，若P是x轴上一动点，点D的坐标为 $(0 ， - 1)$ ，连接PD，则 $\sqrt{2} P D + P C$ 的最小值是（）

A、4 B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} + \frac{2}{3} \sqrt{2}$

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二、填空题

9. $\sqrt{16}$ 的算术平方根是

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10. 分解因式：2a³﹣8a= ．

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11. 关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数a的取值范围为.

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12. 已知 $△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $A B = 2 A^{^{'}} B^{^{'}}$ ．若 $△ A B C$ 的周长是 $18 c m$ ，那么 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长是cm．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 30 ° ， B C = \sqrt{3}$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α （ 0 ° < α < 180 ° ）$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，并使点 $C^{'}$ 落在AB边上，则线段 $B B^{'}$ 长为．

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14. 如图，点A、B在反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图像上，延长AB交x轴于C点，且点B是AC的中点，则 $△ A O C$ 的面积= ．

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15. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把 $△ A B D$ 沿着AD翻折，得到 $△ A E D$ ， DE与AC交于点G．连接BE交AD于点F．若 $D G = G E ， A F = 3 ， B F = 2$ ，点F到BC的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $△ A D G$ 的面积为．

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16. 如图，正方形 $A B C B_{1}$ ，中， $A B = 1$ ， AB与直线l的夹角为 $30 °$ ，延长 $C B_{1}$ 交直线于点 $A_{1}$ ，作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} B_{2}$ ，延长 $C_{1} B_{2}$ 交直线l于点 $A_{2}$ ，作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} B_{3}$ ，延长 $C_{2} B_{3}$ 交直线l于点 $A_{3}$ ，作正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} B_{4}$ ， …，依此规律，则 $A_{2022} B_{2022} =$ ．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} \div (x - \frac{1}{x})$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，且 $A E = A B$ ，连接BE．

(1)、尺规作图：作 $∠ A$ 的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、若 $B E = 8 ， A B = 5$ ，求AF的长．

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19. 育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

(1)、参与这次学校调查的学生家长共人；

(2)、通过计算将条形统计图补充完整；

(3)、若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？

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20. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

(1)、请你估计箱子里白色小球的个数；

(2)、现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

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21. 某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点 $A (a ， 3)$ ，与x轴相交于点B．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、设D为x轴正半轴上一点，当 $△ A B D$ 是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的解析式．

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23. 如图1，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ， BD为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连接CE， $E F = D G$ ．

(1)、求证： $C E = B G$ ；

(2)、如图2，连接CG， $A D = 2$ ．若 $s i n ∠ A D B = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $△ F G D$ 的周长．

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24. 某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如下表：

(1)、请根据下述关系，完成表格．

销售单价（元/千克）	…	70	75	80	85	…	x	…
月销售量（千克）	…	100	90	80		…		…

(2)、用含有x的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；

(3)、在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元?

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25. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点D是BC中点，点E是AC延长线上一点，连接BE、AD．

(1)、如图1，若 $△ A B C$ 是等边三角形，点C是AE中点，若 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求BE的长．

(2)、如图2，过点C作 $C F ∥ A B$ ，交AD的延长线于点F，若 $∠ F A C = ∠ B E C$ ， $B E = 2 A D$ ；
① $∠ B A C = 60 °$ ，求证： $A B = E C$ ；
②如图3，若 $C E = \sqrt{2} A B$ ，求 $∠ C A B$ ．

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26. 如图，已知抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，点A的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点B的坐标 $(3 ， 0)$ ，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作 $D H ⊥ x$ 轴于点H，过点A作 $A E ⊥ A C$ 交DH的延长线于点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求 $△ C M N$ 的周长最小值；

(3)、在（2）问的条件下，将得到的 $△ C M N$ 沿射线AE平移得到 $△ C^{'} M^{'} N^{'}$ ，记在平移过程中，在抛物线上是否存在这样的点Q，使Q、 $C^{'}$ 、 $M^{'}$ 、 $N^{'}$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出 $△ C M N$ 平移的距离；若不存在，说明理由．

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