内蒙古2023届高三理数仿真模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 < 0}$ ， $B = {x | 2 - x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x < 5}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | x > - 5}$ D、 ${x | x > - 2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2 - i} = 2 i$ ，则 $| z + 1 | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{17}$ C、5 D、17

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $a = 3$ ， $b = \sqrt{13}$ ， $B = 6 0^{∘}$ ，则 $c =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知直线 $l ： 2 x - y - 2 = 0$ 被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + m = 0$ 截得的线段长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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5. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x + φ)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则 $| φ |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $A A_{1} = 2 A B$ ， D，E，F分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点，则异面直线BE与DF所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，y.已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则 $| x - y | =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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8. 设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 在其定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 为“有源”函数.已知 $f (x) = l n x - 2 x - a$ 是“有源”函数，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - l n 2 - 1]$ D、 $(- l n 2 - 1 ， + \infty)$

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9. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示， $A C = 8$ （百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线 $A B$ 看成函数 $f (x) = k \sqrt{x}$ 图象的一部分， $B C$ 为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形 $C D E F$ （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $\frac{116}{9}$ C、 $\frac{196 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{352}{27}$

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10. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{7}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 和 $D ， E$ ，则 $| A B | + 4 | D E |$ 的最小值是（）

A、64 B、72 C、144 D、128

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) = f (2 - x)$ ， $f (x) = - f (x + 2)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $2$ 的函数 B、 $f (2022) = 1$ C、 $f (x)$ 的值域是 $[- e ， e]$ D、方程 $| e f (x) | = 1$ 在区间 $[0 ， \frac{2023}{2}]$ 内恰有 $1011$ 个实数解

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知 $α$ 是第二象限角，且 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{3}) =$ ．

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15. 设 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，若双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，则 $\frac{| P F_{1} |}{| O P |} =$ ．

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16. 在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在平面 $B C_{1} D$ 上运动，则 $| A_{1} P | + | D_{1} P |$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $\frac{2 S_{n + 1}}{a_{n + 1}} = \frac{2 S_{n}}{a_{n}} + 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A，B，C三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是 $\frac{1}{2}$ ）.

(1)、求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率；

(2)、记进入决赛第二轮的选手中来自B部门的人数为X，求X的数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / C D$ ， $P B = C D = 2 A B = 2 A D$ ， $P D = \sqrt{2} A B$ ， $P C ⊥ D E$ ， $E$ 是棱 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $\vec{A F} = λ \vec{A B}$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $P A D$ 所成的锐二面角的余弦值的最大值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $M (2 ， \sqrt{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的标准方程.

(2)、直线l： $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点P（点 $P$ 不与原点重合），使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- 3 ， + \infty)$ 上的极值；

(2)、若 $\forall x \in (- 3 ， + \infty) ， \frac{1}{f (x)} - 3 \leq a x^{2} - 2 x$ ，求 $a$ 的最小值．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 c o s α \\ y = 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 $2 ρ c o s θ - ρ s i n θ - 1 = 0$ .

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点，点 $P (0 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x + 3 |$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $x \in [- 3 ， 2]$ ，不等式 $f (x) \geq | x + a |$ 恒成立，求a的取值范围.

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