辽宁省名校联盟2022-2023学年高三下学期数学质量检测考试试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $(2 - i) (1 - i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - x - 3 < 0}$ ， $B = {x | - 2 < 3 - x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， \frac{5}{2})$ B、 $(0 ， 5)$ C、 $(0 ， \frac{3}{2})$ D、 $(- 1 ， 5)$

查看试题解析
3. 某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（）

A、290 B、295 C、300 D、330

查看试题解析
4. “ $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ”是“ ${(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若对任意实数 $x$ ， $| x \vec{a} + \vec{b} | ≥ \frac{\sqrt{3}}{2}$ 恒成立，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = t a n \frac{π x}{3}$ 的最小正周期为 $T$ ，设 $a = s i n T$ ， $b = c o s T$ ， $c = l o g_{8} T$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

查看试题解析
7. 在平面中，若正 $△ A B C$ 内切圆的面积为 $S_{1}$ ，内切圆与外接圆之间的圆环面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3} .$ 在空间中，若正四面体 $P A B C$ 内切球的体积为 $V_{1}$ ，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ （）

A、 $\frac{1}{63}$ B、 $\frac{1}{26}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{7}$

查看试题解析
8. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示， $A C = 8$ （百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线 $A B$ 看成函数 $f (x) = k \sqrt{x}$ 图象的一部分， $B C$ 为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形 $C D E F$ （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $\frac{116}{9}$ C、 $\frac{196 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{352}{27}$

查看试题解析

二、多选题

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列结论错误的是（）

A、 $E F / /$ 平面 $B B_{1} D_{1}$ B、 $E F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ C、 $E F ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ D、 $E F ⊥$ 平面 $B C_{1} D$

查看试题解析
10. 设 $a ， b ， c$ 均为正数，且 $a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a b + 2 b c + 2 c a \leq 1$ B、当 $a > \frac{\sqrt{6}}{6}$ 时， $a = b = c$ 可能成立 C、 $a b < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{4 c^{2}} \geq 9$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = s i n^{3} x + c o s^{3} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、当 $s i n x + c o s x = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = \frac{11}{16}$ C、 $f (x)$ 的最大值是1 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称

查看试题解析
12. 已知F是抛物线 $W ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $A (1 ， 2)$ 在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的垂线，垂足分别为M，N，则（）

A、四边形 $A M F N$ 面积的最大值为2 B、四边形 $A M F N$ 周长的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{| B C |} + \frac{1}{| D E |}$ 为定值 $\frac{1}{4}$ D、四边形 $B D C E$ 面积的最小值为32

查看试题解析

三、填空题

13. 某容器内液体的高度 $h ($ 单位： $c m)$ 与时间 $t ($ 单位： $s)$ 的函数关系式为 $h (t) = t^{3} + 2 \sqrt{t}$ ，则当 $t = 1$ 时，液体高度的瞬时变化率为 $c m / s .$

查看试题解析
14. $(y + 1) (x - 2)^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y$ 项的系数为．

查看试题解析
15. 若数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = \frac{1}{3}$ ， $a_{3} = \frac{4}{9}$ ，则 $a_{n} =$ .

查看试题解析
16. $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点，曲线 $\frac{| x |}{2} + | y | = 1$ 与坐标轴的交点为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，若 $| P A | + | P B | + | P C | + | P D | = 4 \sqrt{6}$ ，则 $P$ 到 $x$ 轴的距离为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $C = \frac{2 π}{3}$ ， $b^{3} - a^{2} b + a c^{2} - b c^{2} = 0$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 边上高的长度.

查看试题解析
18. 在① $a_{6} = 23$ ， ② $a_{1}^{2} - d^{2} = 5$ 这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.
问题：在各项均为整数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 5$ ，公差为 $d$ ，且____.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} d^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
19. 口袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，每次从口袋中取一个球，若取出的是白球，则不放回，若取出的是黑球，则放回袋中.

(1)、求在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率；

(2)、求取了3次后，取出的白球的个数的分布列及数学期望.

查看试题解析
20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A A_{1} = B C = 2$ ，且二面角为 $A_{1} - B C - A$ 为45°.

(1)、求棱AC的长；

(2)、若D为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，求平面 $C C_{1} D$ 与平面 $A_{1} B C$ 夹角的正切值.

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支相交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $M$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $P$ .当 $\vec{M N} \cdot \vec{M P} = 0$ 时， $| M N | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ M N P$ 的外心为 $Q$ ，求 $\frac{| Q F |}{| M N |}$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- 3 ， + \infty)$ 上的极值；

(2)、若 $\forall x \in (- 3 ， + \infty) ， \frac{1}{f (x)} - 3 \leq a x^{2} - 2 x$ ，求 $a$ 的最小值．

查看试题解析