江西省上饶市2023届高三理数第一次高考模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x - 1) (x + 4) \geq 0}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2}$

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2. 若复数 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{7} = a_{4}$ ， $S_{3} = - 12$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、-240 B、-160 C、240 D、160

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \geq 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为（）

A、3 B、7 C、8 D、10

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6. 已知点 $A$ 是抛物线 $x^{2} = m y (m > 0)$ 上的一点， $B (2 ， 0)$ ， $F$ 是抛物线的焦点，且 $\vec{F A} = \vec{A B}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $α$ 为钝角， $t a n (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n β =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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8. 矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点 $A$ ， $B$ ， $C$ 处测得铜雕顶端 $P$ 处仰角分别为 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{3}$ ，且 $A B = B C = 20 m$ ，则四门通天的高度为（）

A、 $15 \sqrt{6} m$ B、 $10 \sqrt{6} m$ C、 $6 \sqrt{6} m$ D、 $5 \sqrt{6} m$

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9. 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 为棱 $B C$ 的四等分点（靠近点 $B$ ）， $F$ 为棱 $A^{'} D^{'}$ 的四等分点（靠近点 $A^{'}$ ），过点 $C^{'}$ ， $E$ ， $F$ 作该正方体的截面，则该截面的周长是（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4} + \frac{25}{2}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{25}{2}$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{40}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{40}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = c o s (\frac{2}{3} x + φ)$ 满足 $f (- \frac{π}{6}) = f (\frac{2 π}{3})$ ，若 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 至少有两个零点，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $2 π$ C、 $\frac{5 π}{2}$ D、 $3 π$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，交双曲线右支于点 $M$ ，若 $∠ F_{1} M F_{2} = 4 5^{∘}$ ，则双曲线的离心率为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 设 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = e^{s i n \frac{1}{6}} - 1$ ， $c = \frac{4}{3} l n \frac{4}{3}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，它们的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ ．

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14. 已知一个圆锥底面积为 $16 π$ ，体积为 $16 π$ ，则该圆锥侧面积为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot (- 1)^{n - 1} + \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot (- 1)^{n}$ ， $n \in N_{+}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{8} =$ ．

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16. 三个元件 $a$ ， $b$ ， $c$ 独立正常工作的概率分别是 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ $(0 < P_{1} < P_{2} < P_{3} < 1)$ ，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ 中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是．

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三、解答题

17. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = \frac{3 π}{4}$ ， $c o s ∠ D B C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、证明： $A C ⊥ B D$ ．

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18. 为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”．

(1)、用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率；

(2)、从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量 $X$ 表示每天平均运动时间在40-50分钟之间的学生数，求 $X$ 的分布列及期望．

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19. 如图，四棱锥 $A - B C D E$ 中， $△ A B C$ 是边长为 $4 \sqrt{2}$ 的正三角形，平面 $A B C$ 与矩形 $B C D E$ 所在的平面互相垂直，且 $A E ⊥ B D$ ．

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、求二面角 $B - A E - D$ 的平面角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，焦距为4．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过椭圆的右焦点 $F$ 的动直线 $l$ 与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在 $x$ 轴上方）， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 为椭圆的左、右顶点，直线 $A_{1} P$ ， $A_{2} Q$ 与 $y$ 轴分别交于点 $M$ 、 $N$ ， $O$ 为坐标原点，求 $\frac{| O M |}{| O N |}$ 的值．

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21. 已知 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = e^{x} (1 - s i n x)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \in (0 ， 3)$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ ，试讨论 $h (x)$ 在 $(0 ， π)$ 内的零点个数．（参考数据： $e^{\frac{π}{2}} \approx 4.81$ ）

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} + t c o s α \\ y = t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{8}{5 - 3 c o s 2 θ}$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $M (\sqrt{2} ， 0)$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | x - 2 a |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in R$ ， $f (x) + | x - 2 a | \geq a^{2} - 5$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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