江苏省连云港市2023届高三下学期数学2月调研试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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2. 已知全集 $U = A \cup B = {x \in N | 0 \leq x \leq 7}$ ， $A ∩ (∁_{U} B) = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 ${0 ， 2 ， 4 ， 6}$ B、 ${2 ， 4 ， 6}$ C、 ${0 ， 2 ， 4}$ D、 ${2 ， 4}$

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3. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）

A、56种 B、64种 C、72种 D、96种

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4. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $6$ ，则常数 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{5}$ 的展开式中常数项为（）

A、80 B、-80 C、-40 D、40

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6. 已知正四面体 $A - B C D$ ， $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，点 $N$ 为线段 $B C$ 的中点，则直线 $M N$ 与平面 $B C D$ 所成角的正切值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{3 \sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{4 \sqrt{14}}{7}$ D、 $\frac{5 \sqrt{14}}{7}$

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7. 在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间 $[40 ， 50)$ 内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间 $[40 ， 50)$ 内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 $[40 ， 50)$ 内，则此人患该疾病的概率为（）

A、0.001 B、0.003 C、0.005 D、0.007

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8. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（）

A、 $81 π$ B、 $96 π$ C、 $108 π$ D、 $126 π$

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二、多选题

9. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直 D、 $(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直

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10. 折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且 $∠ A B C = 120 °$ ，则该圆台（）

A、高为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、表面积为 $\frac{34 π}{9}$ C、体积为 $\frac{52 \sqrt{2}}{81} π$ D、上底面积、下底面积和侧面积之比为 $1 ： 9 ： 24$

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11. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线l与C交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（）

A、若直线l经过焦点F，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 12$ ，则 $p = 2$ B、若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则直线l的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ C、若以AB为直径的圆M经过焦点F，则 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ D、若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切

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12. 利用“ $l n x \leq x - 1$ ”可得到许多与n（ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）有关的结论，则正确的是（）

A、 $l n (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}$ B、 $l n n > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}$ C、 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) ⋯ (1 + \frac{1}{2^{n}}) > e$ D、 ${(\frac{1}{n})}^{n} + {(\frac{2}{n})}^{n} + ⋯ + {(\frac{n}{n})}^{n} < \frac{e}{e - 1}$

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三、填空题

13. 已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是 $(5 ， 6)$ ， $(3 ， - 4)$ ，则这个圆的方程是.

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14. 为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．已知 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 1600$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 460$ ， $\hat{b} = 0.85$ ．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为kg．

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15. 直线 $y = \frac{2}{3} x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (a > 0)$ 相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为 $-$ 9，则离心率 $e$ =.

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16. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，若 $f (e^{x}) + f (a x) < 0$ 有解，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n}}$ ．

(1)、证明：数列 ${S_{n}^{2}}$ 是等差数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} = S_{n}^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式．

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18. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，在项目B中甲班每一局获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且每一局之间没有影响．

(1)、求甲班在项目A中获胜的概率；

(2)、设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 s i n C = s i n B + c o s B t a n A$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c} = \frac{2 \sqrt{3} s i n B}{3 s i n C}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径R．

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20. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内接于圆柱， $A B = A A_{1} = B C = 2$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ．

(1)、证明： $A C$ 为圆柱底面的直径；

(2)、若M为 $A_{1} C_{1}$ 中点，N为 $C C_{1}$ 中点，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $B M N$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x l n x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 上的最大值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x^{3}$ 有两个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $P (- \sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程：

(2)、过椭圆E的左焦点 $F_{1}$ 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求 $\frac{| A B |}{| M F_{1} |}$ 的最大值．

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