吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三数学第二次调研试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = 4}$ ， $B = {(x ， y) | x + y = 0}$ ，则A∩B的子集个数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 对于事件A与事件B，下列说法错误的是（）

A、若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1 B、若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B） C、若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件 D、若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立

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3. 下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = t a n x$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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4. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F与椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（）

A、椭圆E的焦距是2 B、椭圆E的离心率是 $\frac{1}{2}$ C、抛物线C的准线方程是x=-1 D、抛物线C的焦点到其准线的距离是4

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5. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（）

A、 ${k a_{n}}$ （k∈R） B、 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ C、 ${a_{n} + 1}$ D、 ${a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2}}$

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6. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，若直线 $l_{1} ： a x + b y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + (1 - a) y + 1 = 0$ 垂直，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、8 D、9

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7. 近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观，某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21 $m$ 的C处观测塔顶的俯角为 $3 0^{∘}$ ，在无人机正下方距离地面1 $m$ 的B处观测塔顶仰角为 $6 0^{∘}$ ，则该塔的高度为（）

A、15 $m$ B、16 $m$ C、 $15 \sqrt{3}$ $m$ D、 $10 \sqrt{3}$ $m$

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8. 已知矩形ABCD中，AB=3，BC=2，将△CBD沿BD折起至△C'BD.当直线C'B与AD所成的角最大时，三棱锥 $C^{'} - A B D$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = 1 + i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的共轭复数是 $1 - i$ B、 $z$ 的虚部是 $i$ C、 $\frac{\bar{z}}{z} = i$ D、若复数 $z_{0}$ 满足 $| z_{0} - z | = 1$ ，则 $| z_{0} |$ 的最大值是 $\sqrt{2} + 1$

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10. 如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且 $∠ A O B = \frac{π}{6}$ .质点A以 $\frac{π}{6} r a d / s$ 的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 $\frac{π}{12} r a d / s$ 的角速度按逆时针方向运动，则（）

A、经过1 $s$ 后，扇形AOB的面积为 $\frac{5 π}{12}$ B、经过2 $s$ 后，劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $\frac{2 π}{3}$ C、经过6 $s$ 后，质点B的坐标为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、经过 $\frac{22}{3} s$ 后，质点A，B在单位圆上第一次相即

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11. 如图，函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{x}$ 的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) - a (a \in R)$ 有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $a > 6$ B、 $x_{1} + x_{3} > 0$ C、 $x_{2} + x_{3} > 4$ D、 ${(x_{2} - x_{1})}^{2} \geq 24 \sqrt[3]{2}$

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12. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ，动点P满足 $\vec{A P} = a \vec{A C} + b \vec{A A_{1}}$ ，且 $a ， b \in (0 ， 1)$ .则下列说法正确的是（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，直线 $A C ⊥$ 平面 $B P B_{1}$ B、当 $a + b = 1$ 时， $P B + P B_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ C、若直线 $B P$ 与 $B D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则动点P的轨迹长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ D、当 $a + 2 b = 1$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球半径的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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三、填空题

13. 命题“ $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + x + 1 < 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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15. 意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知 $F_{1} = 1$ ， $F_{2} = 1$ ， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ （ $n \in N^{*}$ ，且n>2）.若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} ⋯ + a_{2023} =$ .；若 $F_{2024} = a$ ，则 $F_{1} + F_{2} + F_{3} ⋯ + F_{2022} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x - 2} + 4 ， x \geq 0 \\ \sqrt{1 + x^{2}} ， x < 0 \end{array}$ ，点 $M$ 、 $N$ 是函数 $f (x)$ 图象上不同的两个点，则 $t a n ∠ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）的取值范围是.

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四、解答题

17. 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为： $n_{1}$ ， $\bar{x}$ ， $s_{1}^{2}$ ， $n_{2}$ ， $\bar{y}$ ， $s_{2}^{2}$ .记总样本的平均数为 $\bar{ω}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ， $s^{2} = \frac{1}{n_{1} + n_{2}} {n_{1} [s_{1}^{2} + (\bar{x} - \bar{ω})^{2}] + n_{2} [s_{2}^{2} + (\bar{y} - \bar{ω})^{2}]}$

(1)、求抽取的总样本的平均数；

(2)、试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.

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18. 已知 $△ A B C$ 的三个角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b c o s C + c c o s B = 6$ .

(1)、求边 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且________，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围.
要求：从① $A = \frac{π}{4}$ ， ② $b + c = 10$ 从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，四边形BDEF为矩形，BD=2BF=2，AC与BD交于O点，FA=FC.

(1)、求证：AC⊥平面BDEF；

(2)、求二面角F-AE-C的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是以 $2$ 为公差的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} (a_{n} + 2)}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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21. 在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线 $l ： x = \frac{1}{2}$ 的距离比是常数2.

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $m$ 与动点 $M$ 的轨迹交于P，Q两点，且 $O P ⊥ O Q$ （ $O$ 为坐标原点），求 $| O P |^{2} + | O Q |^{2}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - x + \frac{1}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{x} + 1$ ，记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，若 $g (x) (x^{2} + m x + n) \leq 0$ 对任意的正数 $x$ 恒成立，求 $[2 l n n - \frac{1}{n e^{m + 2}} + \frac{1}{n} + 1]$ 的值.
（参考数据： $l n 3 \approx 1.1$ ， $l n 2 \approx 0.7$ ）

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