湖北省武汉市2023届高三下学期数学二月调研试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， B = {x | x^{2} - 8 x + 12 \geq 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 若虚数z使得z²+z是实数，则z满足（）

A、实部是 $- \frac{1}{2}$ B、实部是 $\frac{1}{2}$ C、虚部是0 D、虚部是 $\frac{1}{2}$

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3. 平面向量 $\vec{a} = (- 2 ， k) ， \vec{b} = (2 ， 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、6 B、5 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（）

A、196 B、197 C、198 D、199

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq a \\ 2^{x} ， x > a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的值域是 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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6. 某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、5

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图像如图所示，其中 $A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0$ .在已知 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（）

A、 $ω$ B、 $φ$ C、 $\frac{φ}{ω}$ D、 $A s i n φ$

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8. 设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且 $∠ A O B = 60 °$ ，球体O表面上动点P满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则点P的轨迹长度为（）

A、 $\frac{12 \sqrt{11}}{11} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{15}}{5} π$ C、 $\frac{6 \sqrt{14}}{7} π$ D、 $\frac{12 \sqrt{13}}{13} π$

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二、多选题

9. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 2} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10. 在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：

甲校理科生
甲校文科生
乙校理科生
乙校文科生
达标率
60%
70%
65%
75%
定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有（）

A、乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校 B、两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率 C、若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65% D、甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率

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11. 已知离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n ， p)$ ，其中 $n \in N^{*} ， 0 < p < 1$ ，记 $X$ 为奇数的概率为 $a$ ， $X$ 为偶数的概率为 $b$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $a + b = 1$ B、 $p = \frac{1}{2}$ 时， $a = b$ C、 $0 < p < \frac{1}{2}$ 时， $a$ 随着 $n$ 的增大而增大 D、 $\frac{1}{2} < p < 1$ 时， $a$ 随着 $n$ 的增大而减小

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12. 已知函数 $f (x) = s i n x + l n x$ ，将 $f (x)$ 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 ${x_{n}}$ ，对于正整数n，则下列说法中正确的有（）

A、 $(n - 1) π < x_{n} < n π$ B、 $x_{n + 1} - x_{n} < π$ C、 ${| x_{n} - \frac{(2 n - 1) π}{2} |}$ 为递减数列 D、 $f (x_{2 n}) > - 1 + l n \frac{(4 n - 1) π}{2}$

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三、填空题

13. 锐角 $α$ 满足 $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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14. 若两条直线 $l_{1} ： y = 3 x + m ， l_{2} ： y = 3 x + n$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 3 x + y + k = 0$ 的四个交点能构成矩形，则 $m + n =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{1 - x} - a x$ 有两个极值点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 4$ ，则实数a＝.

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16. 设F为双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则 $\frac{t}{a}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a₂＝3.

(1)、求数列{an}的通项公式；

(2)、对所有正整数m，若ak＜2m＜ak_＋₁ ，则在ak和ak_＋₁两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.

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18. 如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的下底面和上底面分别是边 $4$ 和 $2$ 的正方形，侧棱 $C C_{1}$ 上点 $E$ 满足 $\frac{C_{1} E}{C_{1} C} = \frac{1}{3}$ .

(1)、证明：直线 $A_{1} B / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

(2)、若 $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $C C_{1} = 3$ ，求直线 $B B_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， D为 $A B$ 中点， $C D = \sqrt{2}$ .

(1)、若 $B C = \sqrt{2}$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、若 $∠ B A C = 2 ∠ B C D$ ，求 $A C$ 的长.

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20. 口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.

(1)、记总的抽取次数为X，求E（X）；

(2)、现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.

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21. 过坐标原点 $O$ 作圆 $C ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 3$ 的两条切线，设切点为 $P ， Q$ ，直线 $P Q$ 恰为抛物 $E ： y^{2} = 2 p x ， (p > 0)$ 的准线.

(1)、求抛物线 $E$ 的标准方程；

(2)、设点 $T$ 是圆 $C$ 上的动点，抛物线 $E$ 上四点 $A ， B ， M ， N$ 满足： $\vec{T A} = 2 \vec{T M} ， \vec{T B} = 2 \vec{T N}$ ，设 $A B$ 中点为 $D$ .
（i）求直线 $T D$ 的斜率；
（ii）设 $△ T A B$ 面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值.

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22. 已知关于 $x$ 的方程 $a x - l n x = 0$ 有两个不相等的正实根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $k$ 为常数，当 $a$ 变化时，若 $x_{1}^{k} x_{2}$ 有最小值 $e^{e}$ ，求常数 $k$ 的值.

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	甲校理科生	甲校文科生	乙校理科生	乙校文科生
达标率	60%	70%	65%	75%