黑龙江省大庆市2023届高三数学第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x < a}$ ，集合 $B = {- 1 ， 2}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + i}{2 - i} - i^{3}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、 $2 i$ C、2 D、0

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3. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、-3 B、4 C、3 D、 $- 4$

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4. 我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示．
治理经费x/亿元
3
4
5
6
7
治理面积y/万亩
10
12
11
12
20
根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 2 x + a$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $5^{a} = 2$ ， $b = l o g_{5} 3$ ，则 $l o g_{5} 18 =$ （）

A、 $a + 3 b$ B、 $a + 2 b$ C、 $2 a + b$ D、 $3 a + b$

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6. 已知不重合的直线 $l$ ， $m$ ， $n$ 和不重合的平面 $α$ ， $β$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n / / β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ β$ ，则 $l ∥ α$ D、若 $α ∩ β = l$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ∥ n$ ，则 $m ∥ l$

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7. 设x， $y \in R$ ，则“ $x + y > 2$ ”是“x，y中至少有一个大于1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设抛物线 $C$ ： $x^{2} = - 12 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 上， $Q (0 ， - 9)$ ，若 $| P F | = | Q F |$ ，则 $| P Q | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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9. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）

A、 $g (x) = \sqrt{2} s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = \sqrt{2} c o s 2 x$ C、 $g (x) = \sqrt{2} c o s (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = \sqrt{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥$ 平面ABC，且 $A B = P B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = B C = 2$ ， E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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11. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (2 - x) = 2$ ， $g (x) - f (x - 4) = 4$ ，若 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 1$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、-3 B、-1 C、0 D、2

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12. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若 $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} | =$ $| \vec{P F_{1}} - \vec{P F_{2}} |$ ，且 $\vec{P F_{2}} = 2 \vec{F_{2} Q}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{2} - 4 e^{x} + 1$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为．

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14. 已知直线 $l ： 3 x - 4 y + 1 = 0$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + m = 0$ 相离，则整数 $m$ 的一个取值可以是．

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15. 一个口袋里有大小相同的白球 $4$ 个，黑球 $m$ 个，现从中随机一次性取出 $2$ 个球，若取出的两个球都是白球的概率为 $\frac{1}{6}$ ，则黑球的个数为．

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16. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是 $2 ： 3$ ，则 $n =$ ，展开式的常数项为．（用数字作答）

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三、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3}$ 是 $a_{1}$ ， $a_{11}$ 的等比中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $s i n B - s i n A c o s C = \frac{1}{2} s i n C$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $c = 2$ ， D为BC边的中点， $| \vec{A D} | = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，求a的值.

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1} = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A D$ ， $B D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $M N$ ∥平面 $C C_{1} D_{1} D$ ；

(2)、求平面 $B D D_{1}$ 与平面 $C M N$ 夹角的余弦值.

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20. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位： $g / c m^{3}$ ）进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.

(1)、若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)、在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；

(3)、若该品种种子的密度 $ρ \sim N (1.3 ， 0.01)$ ，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ)$ $\approx 0.9545$ .

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21. 已知双曲线 $C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $D$ 为双曲线 $C$ 的右顶点，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同于 $D$ 的 $E$ ， $F$ 两点，若以 $E F$ 为直径的圆经过点 $D$ 且 $D G ⊥ E F$ 于 $G$ ，证明：存在定点 $H$ ，使得 $| G H |$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} a x^{2} - x + a$ 的两个不同极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

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治理经费x/亿元	3	4	5	6	7
治理面积y/万亩	10	12	11	12	20