河南省郑州市2023届高三理数第一次质量预测试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}}$ ， $B = {x | l o g_{3} (x - 1) < 1}$ ．则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 3}$ B、 ${x | 3 < x \leq 4}$ C、 ${x | 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | 3 \leq x \leq 4}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 的实部为1， $z \cdot \bar{z} = 4$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{15}$ 或 $\sqrt{15}$ C、 $- 1$ 或1 D、 $- \sqrt{15} i$ 或 $\sqrt{15} i$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的离心率为 $2$ ，则该双曲线的渐近线方程为

A、 $x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ D、 $2 x \pm y = 0$

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4. 欧拉函数 $φ (n) (n \in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$ ，且与 $n$ 互素（也称互质）的正整数的个数，例如 $φ (1) = 1$ ， $φ (4) = 2$ ， $φ (9) = 6$ ．则（）

A、数列 ${φ (n)}$ 单调 B、 $φ (5) < φ (6)$ C、数列 ${φ (2^{n})}$ 是等比数列 D、 $φ (6) = φ (2) + φ (3)$

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 1 \leq 0 \\ x + y - 5 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的（）

A、最大值为4 B、最小值为4 C、最大值为5 D、最小值为5

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{8} \geq S_{7} \geq S_{9}$ ，则公差 $d$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{7} ， - \frac{4}{15}]$ B、 $[- \frac{2}{7} ， - \frac{1}{4}]$ C、 $[- \frac{4}{15} ， - \frac{1}{4}]$ D、 $[- \frac{2}{7} ， 0]$

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7. 记函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ．若 $π < T < 2 π$ ，且 $y = f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $2 < ω < 3$ ；
② $f (\frac{π}{2}) = 0$ ；
③ $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增；
④为了得到 $g (x) = s i n ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为 $1 ： 4$ ，高为2，体积为 $\frac{56}{3}$ ，则该“方斗”的侧面积为（）

A、24 B、12 C、 $24 \sqrt{5}$ D、 $12 \sqrt{5}$

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9. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知角 $C = \frac{π}{4}$ ， $b s i n (\frac{π}{4} + A) - a s i n (\frac{π}{4} + B) = c$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{8}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A B E F$ 的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 $M$ ， $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ．则下列结论错误的是（）

A、该模型外接球的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $M N$ 的长度最小 C、异面直线 $A C$ 与 $B F$ 所成的角为60° D、 $M N / /$ 平面 $B C E$

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11. 已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $O A ⊥ O B$ ， $O H ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $H$ ，点 $H$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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12. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，且满足 $f (1) + f (2) = 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) =$ （）

A、 $- 2023$ B、0 C、2 D、2023

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二、填空题

13. ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中的 $x$ 项系数为；

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14. 已知四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，若 $\vec{B C} = 3 \vec{D E}$ ，且 $F$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E F} =$ ．

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15. 经过点 $P (1 ， 1)$ 以及圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 交点的圆的方程为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - e^{- 2 x} - a x$ ，若 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $0 < x_{2} - x_{1} < l n 2$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n - 2 + \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot c o s n π$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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18. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长和高均为2， $E$ ， $F$ 分别为 $P D$ ， $P B$ 的中点．

(1)、若点 $M$ 是线段 $P C$ 上的点，且 $P M = \frac{1}{3} P C$ ，判断点 $M$ 是否在平面 $A E F$ 内，并证明你的结论；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值．

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19. 世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比 $2 ： 0$ ，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙队每名球员射进的概率为 $\frac{2}{3}$ ．每轮点球结果互不影响．

(1)、设甲队踢了5球， $X$ 为射进点球的个数，求 $X$ 的分布列与期望；

(2)、若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $P (2 ， 1)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设不过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ 关于原点的对称点为 $D$ ，记直线 $l$ ， $P B$ ， $P D$ 的斜率分别为 $k$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{1}{2}$ ，证明直线 $l$ 的斜率 $k$ 为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = x s i n x + c o s x$ ， $x \in [- π ， π]$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间与最值；

(2)、若存在 $x_{0} \in [0 ， π]$ ，使得不等式 $f (x_{0}) \geq a (x_{0}^{2} + 1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{c o s α} ， \\ y = \frac{\sqrt{3} s i n α}{c o s α} ， \end{array}$ （ $α$ 为参数， $α \neq k π + \frac{π}{2}$ ），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (2 ， 0)$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于A， $B$ 两点，求 $| \frac{1}{| P A |} - \frac{1}{| P B |} |$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = | 2 x + 2 | + | x - 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} \geq \frac{9}{2 m}$ ．

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