河南省普高联考2022-2023学年高三下学期理数测评试卷（四）

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 2 < x < 4}$ ， $B = {x ∣ (x - 6) (x - 3) \geq 0}$ ，则（）

A、 $2 \in A ∩ B$ B、 $3 \in A \cap B$ C、 $4 \in A ∪ B$ D、 $5 \in A ∪ B$

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2. 若复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且 $z - (2 + i) \bar{z} = - 3 + 5 i$ ，则z的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{3} \times 2^{n} - m$ ， $m \in R$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、 $\frac{13}{3}$ B、5 C、 $\frac{17}{3}$ D、 $\frac{22}{3}$

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4. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 45 °$ ， $C D = 30$ 米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

A、13米 B、24米 C、39米 D、45米

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5. 函数 $y = \frac{x - 3 s i n x}{| x |}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（）

A、0.9 B、0.7 C、0.6 D、0.3

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7. 记不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 3 \leq 0 ， \\ x + y + 1 \leq 0 ， \\ x + 3 \geq 0 \end{array}$ 的解集为D，现有下面四个命题：
$p_{1} ： \forall (x ， y) \in D$ ， $2 x - y + 8 \geq 0$ ； $p_{2} ： \exists (x ， y) \in D$ ， $x - 2 y + 4 > 0$ ；
$p_{3} ： \forall (x ， y) \in D$ ， $x + y + 3 > 0$ ； $p_{4} ： \exists (x ， y) \in D$ ， $x + 3 y - 3 \leq 0$ ．
其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点， $\vec{A F} = λ \vec{B M}$ $(λ \in R)$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 任意写出一个正整数 $m$ ，并且按照以下的规律进行变换：如果 $m$ 是个奇数，则下一步变成 $3 m + 1$ ，如果 $m$ 是个偶数，则下一步变成 $\frac{1}{2} m$ ，无论 $m$ 是怎样一个数字，最终必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列 ${a_{n}} ： a_{1} = m$ （ $m$ 为正整数）， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数时 \\ \frac{1}{2} a_{n} ，当 a_{n} 为偶数时 \end{array}$ ，若 $a_{7} = 2$ ，则 $m$ 的所有可能取值之和为（）

A、188 B、190 C、192 D、201

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10. 在菱形ABCD中， $A B = 5$ ， $A C = 6$ ， AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且 $A M = \frac{1}{3} M D$ ， $C N = \frac{1}{3} N D$ ，将 $△ M N D$ 沿MN折叠到 $△ M N D^{'}$ ，使 $G D^{'} = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{1203}{16} π$ B、 $\frac{627}{16} π$ C、 $\frac{289}{8} π$ D、 $40 π$

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11. 设双曲线 $E ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， B为双曲线E上在第一象限内的点，线段 $F_{1} B$ 与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且 $F_{2} M ⊥ A B$ ，若 $∠ A F_{1} F_{2} = 30 °$ ，则双曲线E的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知 $a = e^{0.618} - 1$ ， $b = l n 1.618$ ， $c = t a n 0.618$ ，其中e为自然对数的底数，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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二、填空题

13. 二项式 ${(x^{2} + \frac{3}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为．

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14. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 2 B C = 2$ ， AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则 $\vec{M B} \cdot \vec{D N}$ 的最大值为．

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15. 圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 = 0$ 与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足 $\frac{| N A |}{| N B |} = 2$ ，直线 $l ： y = k x + m (k > 0)$ 与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为．

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16. 先将函数 $f (x) = c o s x$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，所得图象与函数 $g (x)$ 的图象关于x轴对称，若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上恰有两个零点，且在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} (b - a c o s C) = c s i n A$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，点D在线段AC上，且 $A D = \frac{1}{3} A C$ ，求BD的最小值．

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18. 如图，在四棱锥 $M - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $A B = 4$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $M C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A D C = 45 °$ ，点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，E为线段AD上的点(含端点)．

(1)、若E为线段AD的中点，证明：平面 $M O E ⊥$ 平面MAD；

(2)、若 $3 A E = D E$ ，求二面角 $D - M E - O$ 的余弦值．

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19. 某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．
$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})$
$\sum_{i = 1}^{5} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$
$16.10$
$26.02$
$0.40$
$1.60$
表中 $u_{i} = l n x_{i}$ ， $v_{i} = l n y_{i}$ ， $\bar{u} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} u_{i}$ ， $v = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} v_{i}$ ．已知 $y = a \cdot x^{b}$ 可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程．
参考数据： $e^{4.399} \approx 81$ ， $\sqrt[3]{3} \approx \frac{13}{9}$ ．
参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， ⋯ ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\overset{`}{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - u) (v_{i} - \bar{v})}}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - u)}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

(1)、求y关于x的回归方程；

(2)、若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益 $=$ 销售利润 $-$ 营销费用 $-$ 固定成本）

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在㮋圆上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 m x - m x c o s x - s i n x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(π ， f (π))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，求实数m的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t ， \\ y = 1 - t ， \end{array}$ 其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 | s i n θ | + 2 | c o s θ |$ ，其中 $θ$ 为参数．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图（无需写出作图过程）；

(2)、直线 $m ： θ = α$ $(α \in [0 ， \frac{π}{2}])$ 与曲线C相交于A，B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{6}$ ，求 $α$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | x - 1 | - 4$ 的最小值为m．

(1)、在直角坐标系中画出 $y = f (x)$ 的图象，并求出m的值；

(2)、a，b，c均为正数，且 $a + b + c = - m + 1$ ，求 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a}$ 的最小值．

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$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})$	$\sum_{i = 1}^{5} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$
$16.10$	$26.02$	$0.40$	$1.60$