河南省部分名校2022-2023学年高三下学期理数学业质量联合检测试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x \in Z | | x | \leq 3}$ ，集合 $A = {- 3 ， - 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - b i$ .若 $| z | = \sqrt{2}$ ，则实数 $b =$ （）

A、2或 $- 2$ B、 $\sqrt{3}$ 或 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $- \sqrt{2}$ D、1或 $- 1$

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3. 记公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2} ， a_{5} ， a_{10}$ 成等比数列， $S_{10} = 160$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、17 B、19 C、21 D、23

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ，且 $| \vec{a} | ， | \vec{b} |$ 是函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 的两个零点.若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a} (λ > 2)$ ，则 $λ =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 盒子中装有10个大小相同的球，其中有6个红球，4个黑球.随机取出4个球，则至少有1个黑球的概率为（）

A、 $\frac{17}{30}$ B、 $\frac{43}{70}$ C、 $\frac{13}{14}$ D、 $\frac{209}{210}$

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6. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A ， B$ 两点，当 $l$ 与圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 相切时， $A B$ 的中点 $M$ 到 $E$ 的准线的距离为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{17}{4}$ D、 $\frac{25}{8}$

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7. 已知 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的 $n =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .若 $f (\frac{π}{6} + x) = - f (\frac{π}{6} - x) ， f (- \frac{5 π}{24} + x) = f (- \frac{5 π}{24} - x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 上单调，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或4 C、4 D、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{20}{3}$

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9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上，有下列四个结论：
① $A B_{1} ⊥ C D_{1}$ ；
②点 $P$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
③二面角 $A - B_{1} C - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ；
④若四面体 $B_{1} A C D_{1}$ 的所有顶点均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为 $2 \sqrt{3} π$ .
其中所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{x} ， x < 0 ， \\ | x - 2 | + a ， x \geq 0 . \end{array}$ 若 $f (x)$ 的图象上至少有两对点关于 $y$ 轴对称，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[0 ， 1]$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} (| F_{1} F_{2} | = 2 c)$ ，左顶点为 $A ， O$ 为坐标原点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 的渐近线在第一象限交于点 $M$ .若 $△ A O M$ 的内切圆半径为 $\frac{a b}{3 c}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若 $f (x)$ 的图象关于点 $(3 ， 0)$ 中心对称， $g (\frac{3}{2} + 2 x)$ 为偶函数，且 $g (1) = 2 ， g (3) = - 3$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} g (k) =$ （）

A、670 B、672 C、674 D、676

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二、填空题

13. 已知圆 $C ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ .若圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为1，则直线 $l$ 的方程为.（写一个即可）.

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + l n x (a \in R) ， f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (1) = 3$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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15. 记正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $\frac{1}{a_{1}^{2} - 1} + \frac{1}{a_{2}^{2} - 1} + \frac{1}{a_{3}^{2} - 1} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2} - 1} = \frac{n}{4 (n + 1)}$ .若不等式 $λ S_{n} ⩾ a_{n} + 1$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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16. 某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板 $O A P ， O_{1} B_{1} C_{1} ， O_{2} B_{2} C_{2}$ 进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中 $O A = O_{1} B_{1} = O_{2} B_{2} = 3$ ， $O P = 5$ ，直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 始终全等（假设直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 的另两边的大小可变化）.现将直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 放在平面 $α$ 内拼接，直角三角板 $O A P$ 的直角边 $O A$ 也放在平面 $α$ 内，并使 $O A$ 与 $O_{1} B_{1}$ 重合，将直角三角板 $O A P$ 绕着 $O A$ 旋转，使点 $P$ 在平面 $α$ 内的射影始终与点 $C_{1} ， C_{2}$ 重合于点 $D$ ，如图②，则当四棱锥 $P - O A D B_{2}$ 的体积最大时，直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 的内角 $∠ B_{1} O_{1} C_{1}$ 的余弦值为.

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三、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $3 - 2 c o s^{2} B - c o s^{2} A = 2 s i n B s i n C c o s A$ .

(1)、证明： $b^{2} + 2 a^{2} = c^{2}$ ；

(2)、若 $C = 12 0^{∘} ， a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某学校组织学生观看了“天宫课堂”第二课的直播后，极大地激发了学生学习科学知识的兴趣，提高了学生学习的积极性，特别是对实验操作的研究与探究.现有某化学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了某项化学实验操作，为了解实验效度与实验中原料 $A$ 的消耗量（单位： $g$ ）的关系，该校实验员随机选取了10个小组的实验数据如下表.
小组编号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总计
实验效度 $x_{i}$
$0.5$
$0.6$
$0.5$
$0.7$
$0.8$
$0.6$
$0.6$
$0.8$
$0.5$
$0.4$
6
原料 $A$ 的消耗量 $y_{i} / g$
$1.3$
$1.3$
$1.3$
$1.6$
$1.8$
$1.5$
$1.5$
$1.7$
$1.6$
$1.4$
15
并计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 3.76 ， \sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 22.78 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 9.16$ .
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} ， \sqrt{7} \approx 2.65$

(1)、求这10个小组的实验效度与实验中原料 $A$ 的消耗量的平均值；

(2)、求这10个小组的实验效度与实验中原料 $A$ 的消耗量的相关系数（精确到 $0.01$ ）；

(3)、经该校实验员统计，以往一个学年各种实验中需用到原料 $A$ 的实验有200次左右.假设在一定的范围内，每次实验中原料 $A$ 的消耗量与实验效度近似成正比，其比例系数可近似为样本中相应的平均值的比值.根据要求，实验效度平均值需达到 $0.8$ .请根据上述数据信息，估计该校本学年原料 $A$ 的消耗量.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ∥ B C ， A B ⊥ A D ， △ P A B$ 为等边三角形， $O ， E$ 分别为棱 $A B ， C D$ 的中点.

(1)、棱 $P D$ 上是否存在一点 $F$ ，使得 $E F$ $∥$ 平面 $P O C$ ？若存在，求出 $\frac{P F}{F D}$ 的值；若不存在，说明理由；

(2)、若 $A B = A D = 2 B C$ ，当二面角 $P - A B - D$ 为 $12 0^{∘}$ 时，证明：直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值小于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上， $| P F_{1} |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ ，且当 $P F_{1}$ 垂直于长轴时， $| P F_{1} | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $D (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2}) ， O$ 为坐标原点，与 $O D$ 平行的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，且直线 $D A$ ， $D B$ 分别与 $x$ 轴的正半轴交于 $E ， F$ 两点，试探究 $| O E | + | O F |$ 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1} l n x + x^{2}$ .

(1)、证明： $f (x)$ 恰有一个零点；

(2)、设函数 $g (x) = a l n (x + 1) - \frac{2}{x + 1} - x^{2} ， F (x) = f (x) + g (x)$ .若 $F (x)$ 至少存在两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = a + \frac{1}{2} t ， \\ y = 2 a + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数， $a \in R$ ）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C$ 上有且只有一个点到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3} - 1$ ，求实数 $a$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - 2 | x + a |$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求不等式 $f (x) ⩽ 0$ 的解集；

(2)、当 $a ⩾ - 1$ 时，若函数 $g (x) = \frac{1}{2} x + b$ 的图象恒在 $f (x)$ 图象的上方，证明： $2 b - 3 a > 2$ .

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小组编号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总计
实验效度 $x_{i}$	$0.5$	$0.6$	$0.5$	$0.7$	$0.8$	$0.6$	$0.6$	$0.8$	$0.5$	$0.4$	6
原料 $A$ 的消耗量 $y_{i} / g$	$1.3$	$1.3$	$1.3$	$1.6$	$1.8$	$1.5$	$1.5$	$1.7$	$1.6$	$1.4$	15