海南省东方市2023届高三数学质量检测水平统一考试试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 集合 $A = {1 ， 3} ， B = {1 ， 2 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （　　）

A、 ${1}$ B、 ${3}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

查看试题解析
2. 设 $x ∈ R$ ，则“ $0 < x < 1$ ”成立是“ $x < 1$ ”成立的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

查看试题解析
3. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ， $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| 3 \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、 $13 + 6 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $\sqrt{34}$

查看试题解析
4. 已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / α, n / / α$ ，且 $m \subset β, n \subset β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α, n ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

查看试题解析
5. 宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为60cm，高为6cm，中间一层的正棱柱高为18cm.设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（）

A、 $650 π c m^{2}$ B、 $1300 π c m^{2}$ C、 $1500 π c m^{2}$ D、 $2600 π c m^{2}$

查看试题解析
6. 函数 $y = e^{x} + x^{2} + 2 x - 1$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
7. 将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A、315 B、640 C、840 D、5040

查看试题解析
8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ，且有 $f (3) = 3$ ，则 $f (x) > 3 e^{3 - x}$ 的解集为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- \infty ， 1)$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、对任意的事件A，都有P（A）>0 B、随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 C、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 D、若事件 $A \subseteq$ 事件B，则 $P (A) \leq P (B)$

查看试题解析
10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{2} b c$ ，且 $B = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 不可能为（）

A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = | 2 s i n (2 x - \frac{π}{3}) |$ ，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴是 $x = \frac{π}{6}$ C、若 $x \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ D、若 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 4$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

查看试题解析
12. 下列各式中，最小值是2的有（）

A、 $x^{2} + \frac{4}{x^{2} + 2}$ B、 $x + \frac{1}{x}$ C、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ D、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{| a b |}$

查看试题解析

三、填空题

13. 焦点在 $y$ 轴上的双曲线 $y^{2} - m x^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $m$ 的值为.

查看试题解析
14. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，那么点 $D$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离为.

查看试题解析
15. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形 $A B C$ ，勾 $A C$ （短直角边）长3步，股 $B C$ （长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形 $C D E F (D ， E ， F$ 分别在边 $C B ， B A ， A C$ 上）边长为多少？在求得正方形 $C D E F$ 的边长后，可进一步求得 $∠ B A D$ 的正切值为.

查看试题解析
16. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = \frac{31}{16}$ ， $a_{3} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{2} a_{n + 1} - a_{n} = 0 (a_{n} \neq 0$ ，且 $n \in N^{*}$ )，且 $a_{2} ， a_{3} + 2 ， a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 s i n^{2} \frac{B + C}{2} = 1 + s i n A$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $c$ ．
条件①： $a = 2$ ， $b = 3$ ；
条件②： $c o s B = \frac{2 \sqrt{2}}{3} ， a b = 3 \sqrt{2}$ ；

查看试题解析
19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $P A D$ 为正三角形， $M$ 为线段 $P D$ 上一点， $N$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、当 $M$ 为 $P D$ 的中点时，求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ .

(2)、当 $P B / /$ 平面 $A M N$ ，求出点 $M$ 的位置，说明理由.

查看试题解析
20. 已知某区 $A$ 、 $B$ 两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为 $9 ： 11$ ，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在 $A$ 、 $B$ 两校初一年级在校学生中共抽取了 $100$ 名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：

(1)、在抽取的 $100$ 名学生中， $A$ 、 $B$ 两所学校各抽取的人数是多少？

(2)、该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和做作业时长超过 $3$ 小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；

(3)、另据调查，这 $100$ 人中做作业时间超过 $3$ 小时的人中的 $20$ 人来自 $A$ 中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 $99 %$ 的把握认为“做作业时间超过 $3$ 小时”与“学校”有关？

做作业时间超过 $3$ 小时
做作业时间不超过 $3$ 小时
合计
$A$ 校
$B$ 校
合计
附表：
$p (K^{2} \geq k)$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$10.828$
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

查看试题解析
21. 已知动点Q到点 $E (- \sqrt{5} ， 0)$ 的距离与到直线 $l_{1} ： x = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， Q点的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知 $M (- 3 ， 0)$ ， $N (3 ， 0)$ ， A ， B为曲线C上异于M ， N的两点，直线 $A M$ ， $B N$ 相交于点T ，点T在直线 $x = 4$ 上，问直线 $A B$ 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{a - x}{x e^{x}} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、在区间 $[\frac{a}{2} ， + \infty)$ 上， $f (x)$ 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析

	做作业时间超过 $3$ 小时	做作业时间不超过 $3$ 小时	合计
$A$ 校
$B$ 校
合计

$p (K^{2} \geq k)$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$10.828$