贵阳省铜仁市2023届高三下学期理数适应性考试试卷（一）

试卷更新日期：2023-03-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} \geq 4}$ ，集合 $B = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 3 ， - 2 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 3 ， 3}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $(1 - 2 i)^{2}$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $4 i$ B、-3 C、4 D、-4

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3. 在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为 $x_{1}$ ， 8.1，8.4，8.5，9.0，9.5， $x_{7} (x_{7} \leq 10)$ ，若去掉一个最高分 $x_{7}$ 和一个最低分 $x_{1}$ 后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分 $x_{1}$ 的值不可能是（）

A、7.7 B、7.8 C、7.9 D、8.0

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} + 2 a_{7} = 12$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前9项之和为（）

A、24 B、27 C、48 D、54

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5. 香农-威纳指数（ $H$ ）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是 $H = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \cdot l o g_{2} p_{i}$ ，其中 $n$ 是该群落中生物的种数， $p_{i}$ 为第 $i$ 个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲､乙､丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为（）
物种
甲
乙
丙
合计
个体数量
$300$
$150$
$150$
$600$

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6 ， A C = 3 ， ∠ B A C = \frac{2 π}{3} ， \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、18 B、9 C、12 D、6

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7. 棱锥的内切球半径 $R = \frac{3 V_{锥}}{S_{锥}}$ ，其中 $V_{锥}$ ， $S_{锥}$ 分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为 $1$ 的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. “一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中 $A ， B ， C$ 为节点，若研究发现本局游戏只能以 $A$ 为起点 $C$ 为终点或者以 $C$ 为起点 $A$ 为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（）

A、 $6$ 种 B、 $12$ 种 C、 $24$ 种 D、 $30$ 种

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9. 以双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{3} a^{2}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ 或2 B、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于函数 $y = f (x)$ 的说法正确的是（）
① $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{4}$ 对称
② $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称
③将函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象
④若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 2 ， - \sqrt{3}]$

A、①④ B、②④ C、③④ D、②③

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11. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $A B = A D = 2$ ，则该几何体外接球表面积为（）

A、 $20 π$ B、 $8 π$ C、 $28 π$ D、 $48 π$

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12. 已知正实数 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{l n a}{a} > \frac{l n b}{b} = \frac{1}{c} l n \frac{1}{c}$ ， $b > e$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = l n (x + 1) + 2 x - 1$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程为.

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14. 正实数 $a ， b$ 满足 $4 a + b = 4 a b$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值为.

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15. 赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形 $A B C D$ 是由4个全等的直角三角形和小正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 拼成，现连接 $A D_{1}$ ，当正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的边长为1且其面积与正方形 $A B C D$ 的面积之比为1∶5时， $c o s ∠ D A D_{1} =$ .

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16. 抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ ，圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ ，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若 $| A C | = | B D |$ ，则 $\frac{| A B |}{| C D |} =$ .

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = \frac{7}{4}$ ，且 $a_{1} ， 2 a_{2} ， 4 a_{3}$ 成等差数列.

(1)、证明数列 ${S_{n} - 2}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生.
参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} > k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、根据以上信息，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关？

长时间使用手机娱乐
非长时间使用手机娱乐
合计
成绩下降
成绩未下降
合计
90
200

(2)、在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人访该，记被抽取到的3名学生中女生人数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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19. 如图（1），在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = 2 A B = 2 B C$ ， $E$ 为 $A D$ 中点，现沿 $B E$ 将 $△ A B E$ 折起，如图（2），其中 $F ， G$ 分别是 $B E ， A C$ 的中点.

(1)、求证： $F G ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $A B = A C = \sqrt{2}$ ，求二面角 $B - A C - D$ 的余弦值.

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20. 已知 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $(1 ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ， $(- 1 ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 三点中有两点在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，椭圆 $C$ 的右顶点为 $A$ ，过右焦点的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，当 $l$ 垂直于 $x$ 轴时 $| M N | = \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $A M$ 与 $y$ 轴交于 $P$ 点，直线 $A N$ 与 $y$ 轴交于 $Q$ 点，在 $x$ 轴是否存在定点 $S$ ，使得 $\vec{P S} \cdot \vec{Q S} = 0$ ，若存在，求出点 $S$ ，若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a l n (x - 1) + \frac{1}{4} x^{2} + 1$ ， $g (x) = f (x) + \frac{1}{e^{x}} - {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若任意 $x_{1} ， x_{2} \in (1 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{g (x_{2}) - g (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \geq 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 如图，在极坐标系 $O x$ 中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 $C_{1} ， C_{2}$ 所在圆的圆心分别为 $O_{1} (1 ， \frac{π}{2}) ， O_{2} (1 ， \frac{3 π}{2})$ ， M是半圆弧 $C_{1}$ 上的一个动点.

(1)、若点A是圆O与极轴的交点，求 $| M A |$ 的最大值；

(2)、若点N是射线 $θ = \frac{π}{4} ， (ρ \geq 0)$ 与圆O的交点，求 $△ M O N$ 面积的取值范围.

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23. 已知 $a^{2} + 4 b^{2} = 4$ .

(1)、求 $a + b$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，求证： $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq \sqrt{2}$ .

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$P (K^{2} > k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	长时间使用手机娱乐	非长时间使用手机娱乐	合计
成绩下降
成绩未下降
合计	90		200

物种	甲	乙	丙	合计
个体数量	$300$	$150$	$150$	$600$