山东省青岛市市南区2023年一模数学试题

试卷更新日期：2023-03-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $| - \sqrt{2} |$ 的相反数的倒数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米=0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（）

A、 $1.4 \times 10^{- 7}$ B、 $14 \times 10^{- 7}$ C、 $1.4 \times 10^{- 8}$ D、 $1.4 \times 10^{- 9}$

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3. 在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，丽丽向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（）

A、18个 B、28个 C、32个 D、42个

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4. 已知关于x的一元二次方程 ${(k - 1)}^{2} x^{2} + (2 k + 1) x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）

A、 $k > \frac{1}{4}$ B、 $k < \frac{1}{4}$ C、 $k > \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 1$ D、 $k < \frac{1}{4}$ 且 $k \neq - 1$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A₁B₁C₁ ，再把△A₁B₁C₁绕点C₁顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₁ ，则点A的对应点A₂的坐标是（）

A、（5，2） B、（1，0） C、（3，﹣1） D、（5，﹣2）

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6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 $\overset{⌢}{C D}$ 上一点，且 $\overset{⌢}{D F} = \overset{⌢}{B C}$ ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（　　）

A、45° B、50° C、55° D、60°

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ，在 $B C$ 上取一点 $E$ ，连接 $A E$ 、 $E D$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 翻折，使点 $B$ 落在 $B^{'}$ 处，线段 $E B^{'}$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，将 $△ E C D$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在线段 $E B^{'}$ 上，若点 $C^{'}$ 恰好为 $E B^{'}$ 的中点，则线段 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{3}{4} \sqrt{2}$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = b x - a c$ 与反比例函数 $y = \frac{a - b + c}{x}$ 在同一坐标系内的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算 $\frac{\sqrt{50} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{- 2} =$ ．

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10. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，则获得第一名的选手为．
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
小明
90
80
90
小红
80
90
90

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11. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m³）的反比例函数，其图象如图．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应．

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12. 某品牌瓶装饮料每箱价格是26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”的促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料每瓶多少元？设该品牌饮料每瓶是x元，则可列方程为．

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13. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4 ， ∠ B A D = 45 °$ ，点E是 $A D$ 中点．在 $A B$ 上取一点F，以点F为圆心， $F B$ 的长为半径作圆，该圆与 $D C$ 边恰好相切于点D，连接 $B E$ ，则图中阴影部分面积为（结果保留 $π$ ）．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是线段 $A B$ 上的一点， $D E ⊥ C E$ ，将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 翻折，得到 $△ F C E$ ，若 $A D = 3$ ， $A B = 10$ ，则点 $F$ 到 $C D$ 的距离为．

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三、解答题

15. 已知：线段a，c．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠C＝90°

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16. 计算

(1)、化简： $(\frac{3 x + 4}{x^{2} - 1} - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ；

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x - 1) < 7 - x \\ 3 + 2 x \geq \frac{2 x + 1}{3} \end{array}$ ，并写出不等式组的最小整数解．

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17. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．

(1)、用画树状图或列表法求乙获胜的概率；

(2)、这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．

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18. 青岛胶东机场即将投入使用，为测量该机场东西两建筑物A、B的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D，测得建筑物B的俯角为37°，求该机场东西两建筑物AB的距离．（结果精确到0.1千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）

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19. 劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动，某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩(百分制)，绘制了统计图表：
表一：
成绩x
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
2
a
8
4
表二：
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
请根据以上信息回答下列问题：

(1)、若抽取的学生竞赛成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88，87，81，80，82，88，84，86．根据以上数据填空：a= ， b= ．

(2)、在扇形统计图中，表示竞赛成绩为90≤x≤100这一组所对应扇形的圆心角度数为．

(3)、已知该校八年级共有学生700名．若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数．

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20. 2020年腊月，某商家根据天气预报预测羽绒服将畅销，就用26400元采购了一批羽绒服，后来羽绒服供不应求．商家又用57600元购进了一批同样的羽绒服，第二次所购数量是第一次所购数量的2倍，第二次购进的单价比第一次购进的单价贵了10元．

(1)、该商家第一次购进的羽绒服有多少件？

(2)、若两次购进的羽绒服销售时标价都相同，最后剩下50件按6折优惠卖出，若两批羽绒服全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），则每件羽绒服的标价至少为多少元？

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21. 已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H．

(1)、求证：△AFG≌△CHE；

(2)、若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

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22. “拼多多”汽车某租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金

x

（元）与每月租出的车辆数

(y)

有如下关系：

x（元）	3000	3200	3500	4000
y（辆）	100	96	90	80

(1)、观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求按照表格呈现的规律，每月租出的车辆数

y

（辆）与每辆车的月租金

x

（元）之间的关系式．

(2)、已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含

x (x \geq 3000)

的代数式填表：

租出的车辆数（辆）

未租出的车辆数（辆）

租出每辆车的月收益（元）

所有未租出的车辆每

月的维护费（元）

(3)、若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请说明理由．

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23. 提出：把1到2022这2022个数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4……（每隔一数；擦去一数），转圈擦下去，最后剩下的是哪个数？
探究一：
从简单情况入手：
如果只有1，2，很明显，留下1，擦去2，最后剩下1；
如果只有1，2，3，4，如图所示，第一圈留下1，3擦去2，4；第二圈留下1，擦去3，最后剩下1；
如果只有1，2，3，4，5，6，7，8，如图所示，第一圈留下1，3，5，7擦去2，4，6，8；第二圈留下1，5擦去3，7；第三圈留下1，擦去5；最后剩下1；
问题一：如果只有1，2，3，…，16这16个数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4…（每隔一数，擦去一数），转圈擦下去，最后剩下的数是；
探究二：
如果只有1，2，3，4，5，6，7这7个数，由探究一可知只有4个数时，最后剩下的是1，即4个数中的“第一个数”，因此只要剩下4个数，即可知最后剩下的是哪个数．也就是先擦掉 $7 - 4 = 3$ 个数，擦掉的第3个数是6，它的下一个数是7，也就是剩下的4个数中的第一个是7，所以最后剩下的数就是7；
如果只有1，2，3，…，12这12个数，由探究一可知只有8个数时，最后剩下的是1，即8个数中的“第一个数”，因此只要剩下8个数，即可知最后剩下的是哪个数．也就是先擦掉 $12 - 8 = 4$ 个数，擦掉的第4个数是8，它的下一个数是9，也就是剩下的8个数中的第一个是9，所以最后剩下的数就是9；
仿照上面的探究方法，回答下列问题：
问题二，如果只有1，2，3，…，26这26个数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4……（每隔一数，擦去一数），转圈擦下去，最后剩下的数是；
问题解决：
问题三：把1到2022这2022个数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4……（每隔一数，擦去一数），转圈擦下去，最后剩下的数是；
一般归纳：
问题四：把1，2，3，…，n这个数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4……（每隔一数，擦去一数），转圈擦下去，如果 $2^{k} < n < 2^{k + 1}$ ，且n和k都是正整数，则最后剩下的数是；（用n、k的代数式表示）
拓展延伸：
问题五：如果只有1，2，3，…，n这n个数，且 $n < 5000$ ， n是正整数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4……（每隔一数，擦去一数），转圈擦下去，如果最后剩下的数是2023，则n可以为．

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，动点P从点D出发沿 $D A$ 向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线 $A C$ 向终点C运动．过点P作 $P E ∥ D C$ ，交 $A C$ 于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为 $t s (0 \leq t \leq 4)$ ，解答下列问题：

(1)、当E、Q重合时，求t的值；

(2)、设四边形 $B Q P E$ 的面积为S，当线段 $P E$ 在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；

(3)、当 $B E ∥ P Q$ 时，求t的值；

(4)、是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

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选手	演讲内容	演讲能力	演讲效果
小明	90	80	90
小红	80	90	90

成绩x	x＜60	60≤x＜70	70≤x＜80	80≤x＜90	90≤x≤100
人数	1	2	a	8	4

统计量	平均数	中位数	众数
成绩	79.7	b	72