山西2022年中考模拟百校联考（三）数学试题

试卷更新日期：2023-03-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $(- 6) \div 2$ 的结果是（）

A、-3 B、3 C、-12 D、12

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2. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 3 a b^{2})}^{2} = - 6 a^{2} b^{4}$ B、 $- 3 a^{3} b \div 3 a b = - a^{2} b$ C、 ${(a^{2})}^{3} - {(- a^{3})}^{2} = 0$ D、 $(a + 2)^{2} = a^{2} + 4$

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4. 下列几何体都是由大小相同的小正方体组成，其中左视图与主视图相同的几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 2022年“世界水日”和“中国水周”的活动主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”统计数据显示2020年我国地下水开采总量为892.5亿立方米，较2012年减少约242亿立方米．其中892.5亿用科学记数法可以表示为（）

A、 $892.5 \times 1 0^{8}$ B、 $8.925 \times 1 0^{10}$ C、 $892.5 \times 1 0^{10}$ D、 $8.925 \times 1 0^{11}$

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6. 如图是一副三角板，其中 $∠ A B C = ∠ E D F = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ E = 30 °$ ，若点B与点F重合，点D在AB边上，AC与EF交于点G，则 $∠ E G C$ 的度数为（）

A、45° B、60° C、65° D、75°

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7. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙O，AB为⊙O直径，点D是⊙O上的一点（点C，D在AB的两侧），连接AD，CD．若 $∠ B A C = 36 °$ ，则 $∠ A D C =$ （）

A、36° B、54° C、64° D、72°

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8. 物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（）
拉力/N
0
1
2
3
4
5
6
弹簧长度/cm
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
20.0
22.0

A、24cm B、25cm C、25.5cm D、26cm

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9. 《九章算术》有题曰：“今有五雀，六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕雀重一斤.问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有5只雀，6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻.将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记1斤为16两，则设1只雀 $x$ 两一只燕 $y$ 两，可列出方程（）.

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 10 \\ 5 x = 6 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 10 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x = 6 y \end{array}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， AO是 $△ A B C$ 的中线，以O为圆心，OA长为半径作圆，分别交AB，AC于点D，E，交BC于点F，G．则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} - \frac{2}{3} π$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3} - \frac{4}{3} π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{3} \times \sqrt{6} - \sqrt{8}$ = ．

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12. 如图，用若干相同的小棒拼成含正五边形的图形，拼第1个图形需要5根小棒；拼第2个图形需要9根小棒；拼第3个图形需要13根小棒……按此规律，拼第n个图形需要根小棒（用含n的代数式表示）．

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13. 一个不透明的袋子里有白球和红球各两个，这些小球除颜色以外完全相同，小明从袋子里随机摸出一个小球记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到白球的概率为．

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14. 2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为 $i = 3 ： 4$ 的斜坡滑行30米，则他下降的高度为米．

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15. 如图，在 ▱ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， $A B ⊥ B D$ ， $A B = 3$ ， $O B = 2$ ， $∠ A D C$ 的平分线分别交AC，BC于点E，F．则线段OE的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(- 1)}^{4} \times \sqrt{9} + {(- 2)}^{3} \times {(\frac{1}{2})}^{2}$ ．

(2)、下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．
$\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2}$
解： $\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2}$
$= 4 x - 2 (x + 2)$ ……第一步
$= 4 x - 2 x - 4$ ……第二步
$= 2 x - 4$ ． ……第三步
①小明的解答过程从第 ▲ 步开始出错；
②请你写出正确的解答过程．

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17. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象分别与x轴、y轴交于点C，D，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 1 ， n)$ ， $B (2 ， - 2)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式．

(2)、若x轴上存在一点P，使 $△ A B P$ 的面积为6，求点P的坐标．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E，连接BD．

(1)、判断 $∠ A B D$ 与 $∠ C D E$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、若 $∠ E D B = 40 °$ ， $O B = 4$ ，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长．

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19. 2022年5月5日中国共产主义青年团成立100周年，某校开展“赓继红色血脉，敬致百年风华”系列活动．在活动前某校团委随机抽取部分学生调查其对“共青团”的了解情况，并将了解程度由高到低分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．对调查结果整理后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、被调查学生的人数为．

(2)、补全条形统计图．

(3)、在扇形统计图中的“C．基本了解”对应的扇形圆心角的度数为．

(4)、已知该校有800名学生，估计对“共青团”知识了解程度达到“C．基本了解”及以上的学生有多少人．

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20. 2021年复建后的“首义门”，坐落于太原五一广场，它气势恢宏，庄严肃穆．城台BH高11.7米，上部的城楼为四重檐歇山顶楼阁式建筑，阁楼主体为全木质卯榫结构．某校“综合与实践”小组要测量木质楼阁AB的高度，由于底部不能到达，他们在点C处测得楼阁顶部A的仰角为 $37 ° (∠ α = 37 °)$ ，沿CH方向前行41.5米到达点D处，测得城台顶部B的仰角为 $45 ° (∠ β = 45 °)$ ．其点A，B，H，D，C在同一竖直平面内．求木质楼阁AB的高度（结果保留1位小数．参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）．

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21. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．

题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法	分析问题	列出方程
解法一	设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量	$\frac{2000}{x} = \frac{1200}{x - 20}$
解法二	设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20	$\frac{2000}{x} - \frac{1200}{x} = 20$

任务：

(1)、解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．

A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件

(2)、根据以上解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件．

(3)、若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价－进价）

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22. 综合与时间
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.

(1)、数学思考：请解答上述问题.

(2)、问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求 $\frac{B F}{C G}$ 的值.

(3)、问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出 $△ C E G$ 的面积.

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23. 综合与探究
如图，二次函数y=ax²+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．

(1)、求二次函数的表达式．

(2)、当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段 $P F = \frac{1}{2} E F$ ，求此时点P的坐标．

(3)、试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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拉力/N	0	1	2	3	4	5	6
弹簧长度/cm	10.0	12.0	14.0	16.0	18.0	20.0	22.0