河北省保定市易县2022年中考三模考试数学试题

试卷更新日期：2023-03-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、无数条

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2. 若 $a$ 为实数，则下列各式的运算结果比 $a$ 小的是（）

A、 $a + 1$ B、 $a - 1$ C、a×1 D、 $a \div 1$

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3. 下列四个正方体的展开图中，能折叠成如图所示的正方体的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列各数中，与 $\sqrt{3}$ 的和为有理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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5. 下列尺规作图，能确定 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB长为（）

A、21.6m B、6.6m C、20.6m D、7.6m

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8. 如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中， $∠ 1$ 的度数应是（）

A、 $72 °$ B、 $84 °$ C、 $82 °$ D、 $94 °$

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9. 小华总结了以下结论，其中一定成立的是（）

A、0不是单项式 B、多项式 $1 - x^{2} y + x^{2}$ 是二次三项式 C、“a与b的和的平方”表示为 $a^{2} + b^{2}$ D、“x的一半与y的2倍的差是非负数”表示为 $\frac{1}{2} x - 2 y ≥ 0$

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10. 如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG=50°，P点可能是圆心的是（）.

A、 B、 C、 D、

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11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（）

A、15° B、30° C、45° D、60°

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12. 一条直线 $y = k x + b$ ，其中 $k + b = - 2022 ， k b = 2022$ ，那么该直线经过（）

A、第二、四象限 B、第一、二、三象限 C、第一、三象限 D、第二、三、四象限

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13. 如图，正方形 $O E F G$ 和正方形 $A B C D$ 是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点 $D (2 ， 2)$ ，点 $G (0 ， 1)$ ，则它们位似中心的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 0)$ D、 $(- 3 ， 0)$

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14. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 $15 °$ 方向的A处，若渔船沿北偏西 $75 °$ 方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东 $60 °$ 方向上，则B、C之间的距离为（）

A、15海里 B、30海里 C、 $30 \sqrt{2}$ 海里 D、 $30 \sqrt{3}$ 海里

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15. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）

A、4 B、4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2

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16. 把图1中周长为 $16 c m$ 的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为 $24 c m$ 的的长方形中．设正方形C的边长为 $x c m$ ，正方形D的边长为 $y c m$ ．则下结论中正确的是（）

A、正方形C的边长为 $1 c m$ B、正方形A的边长为 $3 c m$ C、正方形B的边长为 $4 c m$ D、阴影部分的周长为 $20 c m$

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二、填空题

17. 我们称使方程 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{x + y}{2 + 3}$ 成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为 $(x ， y)$ .

(1)、若 $(6 ， y)$ 是“相伴数对”，则y的值为；

(2)、若 $(a ， b)$ 是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b=.

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18. 在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 $A B C D$ 沿过点A的直线折叠，使得点B落在 $C D$ 上的点Q处．折痕为 $A P$ 再将 $△ P C Q ， △ A D Q$ ，分别沿 $P Q ， A Q$ 折叠，此时点C，D落在 $A P$ 上的同一点R处．请完成下列探究：

(1)、∵ $∠ C + ∠ D = 180 °$ ， ∴ $A D$ 与 $B C$ 位置关系为；

(2)、线段 $C D$ 与 $Q R$ 的数量关系为．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $△ A B O$ 的边 $A B$ 垂直 $x$ 轴于点 $B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过 $A O$ 的中点 $C$ ，与边 $A B$ 相交于点 $D$ ，若 $D$ 的坐标为 $(4 ， m)$ ， $A D = 3$ ．

(1)、反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式是；

(2)、设点 $E$ 是线段 $C D$ 上的动点，过点 $E$ 且平行 $y$ 轴的直线与反比例函数的图象交于点 $F$ ，则 $△ O E F$ 面积的最大值是．

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三、解答题

20. 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．
$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$
解： $x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{5}{2}$ 第一步
$x^{2} - \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{5}{2} + {(\frac{3}{4})}^{2}$ 第二步
${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{49}{16}$ 第三步
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4}$ 第四步
$x_{1} = \frac{5}{2}$ ， $x_{2} = - 1$ 第五步

(1)、任务一：
①小颖解方程的方法是；
②第二步变形的依据是；

(2)、任务二：请你用“公式法”解该方程．

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21. 如图，点D在等边 $△ A B C$ 的外部，E为 $B C$ 边上的一点， $A D = C D$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点F， $A B ∥ D E$ ．

(1)、判断 $△ C E F$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $B C = 10$ ， $C F = 4$ ，求 $D E$ 的长．

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22. 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y，

(1)、用树状图或列表法表示出坐标(x，y)的所有可能出现的结果；

(2)、求取出的坐标(x，y)对应的点落在反比例函数y＝ $\frac{12}{x}$ 图象上的概率．

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23. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B$ 都是锐角，且 ${(c o s A - \frac{1}{2})}^{2} + | t a n B - 1 | = 0$ ，

(1)、分别求出三个内角度数；

(2)、若 $A C = 2$ ，求 $A B$ 长度．

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24. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），点M为线段AB上一点．

(1)、在点C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以与点M关于直线y＝x对称的点是；

(2)、若x轴上存在点N，使得点N与点M关于直线y＝x+b对称，求b的取值范围．

(3)、过点O作直线l，若直线y＝x上存在点N，使得点N与点M关于直线l对称（点M可以与点N重合），请你直接写出点N横坐标n的取值范围．

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25. 请阅读以下材料，并完成相应的任务
【阅读材料】在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理，其中第二个引理是：
如图1，点P是弧 $A B$ 的任意一点， $P C ⊥ A B$ 于点C，点D在弦 $A B$ 上且 $A C = C D$ ，在弧 $A B$ 上取一点Q，使弧 $P Q$ =弧 $P A$ ，连接 $B Q$ ，则有 $B Q = B D$ .

(1)、如图2，小明同学尝试说明“ $B Q = B D$ ”，于是他连接了 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ ， $P Q$ ，请根据小明的思路完成后续证明过程；

(2)、如图3，以 $A B$ 为直径的半圆上有一点P， $A P = 6 ， A B = 10$ ，直线l与 $⊙ O$ 相切于点P，过点 $B E ⊥ l$ 于点E，交 $⊙ O$ 于点Q，求出 $B Q$ 的长.

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26. 在如图1所示的平面直角坐标系中，O为原点， ⊙C的圆心坐标为(−2，−2)，半径为 $\sqrt{2}$ ，直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在线段AB上运动（包括端点）．

(1)、直线CO与AB的夹角是 $°$ ；

(2)、当 $△ P O A$ 是等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)、当直线 $P O$ 与 $⊙ C$ 相切时，求 $∠ P O A$ 的度数；

(4)、如图2．直线 $P O$ 与 $⊙ C$ 相交于点E，F，M为线段 $E F$ 的中点，当点P在线段 $A B$ 上运动时，点M也相应运动，请直接写出点M所经过路径的长度．

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