北京西城区2022年九年级二模考试数学试卷

试卷更新日期：2023-03-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A、圆柱 B、长方体 C、圆锥 D、三棱锥

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2. 2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水．京杭大运河是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约1800000m．将1800000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.18 \times 1 0^{7}$ B、 $1800 \times 1 0^{3}$ C、 $18 \times 1 0^{5}$ D、 $1.8 \times 1 0^{6}$

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3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在同一条数轴上分别用点表示实数-1.5，0， $- \sqrt{11}$ ， $| - 4 |$ ，则其中最左边的点表示的实数是（）

A、 $- \sqrt{11}$ B、0 C、-1.5 D、 $| - 4 |$

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5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（）

A、 $9 π m^{2}$ B、 $6 π m^{2}$ C、 $3 π m^{2}$ D、 $π m^{2}$

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在BA的延长线上， $A B = 2 A E$ ， EC，BD交于点F．若 $B D = 10$ ，则DF的长为（）

A、3.5 B、4.5 C、4 D、5

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7. 一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离．
$t / m i n$
0
3
6
9
$y / m$
675
600
525
450
如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为（）

A、25min B、21min C、13min D、12min

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8. 教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是 $\bar{x}$ ，方差是 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} < 7.5$ ， $s^{2} = 1.64$ B、 $\bar{x} = 7.5$ ， $s^{2} > 1.64$ C、 $\bar{x} > 7.5$ ， $s^{2} < 1.64$ D、 $\bar{x} = 7.5$ ， $s^{2} < 1.64$

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二、填空题

9. 若 $\frac{1}{x - 4}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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10. 方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 3 \\ 3 x + y = 5 \end{array}$ 的解为．

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11. 如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=°．

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12. 用一个a的值说明命题“若 $a > 0$ ，则 $a^{2} > \frac{1}{a}$ ”是错误的，这个值可以是 $a =$ ．

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13. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F在线段DE上，且AF⊥BF．若AB=4，BC=7，则EF的长为．

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14. 将抛物线y=2x²向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，−4)，则b的值为．

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15. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $O B = \sqrt{13}$ ， $B C = 4$ ，则 $t a n A$ 的值为．

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16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．

(1)、若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；

(2)、若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{2} | + 2 c o s 45 ° - \sqrt{8} + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ．

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18. 解不等式： $\frac{5 x - 2}{6} < \frac{x}{2} + 1$ ，并写出它的正整数解．

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19. 已知 $x^{2} + x - 5 = 0$ ，求代数式 $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}) \cdot \frac{5}{6 x + 3}$ 的值．

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20. 已知：如图，△ABC．
求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l₁和线段BC的垂直平分线l₂ ，直线l₁与l₂交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l₁在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC．
所以点D就是所求作的点．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l₁垂直平分AC，点O，D都在直线l₁上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l₂垂直平分BC，点O在直线l₂上，
∴ ▲ = ▲ ．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（）（填推理的依据）

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21. 已知关于x的一元二次方程 $\frac{1}{2} x^{2} - m x + m - 5 = 0$ ．

(1)、求证：此方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．

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22. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．

(1)、求证：四边形EBFD是矩形；

(2)、若 $A B = 5$ ， $c o s ∠ O B C = \frac{4}{5}$ ，求BF的长．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数y=-x+b的图象与x轴交于点 $(4 ， 0)$ ，且与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第四象限的交点为 $(n ， - 1)$ ．

(1)、求b，m的值；

(2)、点 $P (x_{p} ， y_{p})$ 是一次函数 $y = - x + b$ 图象上的一个动点，且满足 $\frac{m}{x_{p}} < y_{p} < 4$ ，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围．

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24. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，CB，CD分别与 $⊙ O$ 相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．

(1)、求证： $F A ∥ C O$ ；

(2)、若 $F A = F E$ ， $C D = 4$ ， $B E = 2$ ，求FA的长．

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25. 甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；

(2)、入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社（填“符合”或“不符合”）入选参加展演的条件；

(3)、主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(0 ， - 2)$ ， $(2 ， - 2)$ ．

(1)、直接写出c的值和此抛物线的对称轴；

(2)、若此抛物线与直线 $y = - 6$ 没有公共点，求a的取值范围；

(3)、点 $(t ， y_{1})$ ， $(t + 1 ， y_{2})$ 在此抛物线上，且当 $- 2 ≤ t ≤ 4$ 时，都有 $| y_{2} - y_{1} | < \frac{7}{2}$ ．直接写出a的取值范围．

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27. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过点C作射线 $C B^{'}$ ，使 $∠ A C B^{'} = ∠ A C B$ （点 $B^{'}$ 与点B在直线 $A C$ 的异侧），点D是射线 $C B^{'}$ 上一个动点（不与点C重合），点E在线段 $B C$ 上，且 $∠ D A E + ∠ A C D = 90 °$ ．

(1)、如图1，当点E与点C重合时， $A D$ 与 $C B^{'}$ 的位置关系是，若 $B C = a$ ，则 $C D$ 的长为；（用含a的式子表示）

(2)、如图2，当点E与点C不重合时．连接 $D E$ ．
①直接写出 $∠ B A C$ 与 $∠ D A E$ 之间的数量关系为 ▲ ；
②用等式表示线段 $B E$ ， $C D$ ， $D E$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于线段AB与直线 $l ： y = k x + b$ ，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为 $A^{'} B^{'}$ ( $A^{'}$ ， $B^{'}$ 分别为点A，B的对应点)，则称线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段AB的“ $[k ， b]$ 关联线段”．
已知点 $A (1 ， 1)$ ， $B (1 ， - 1)$ ．

(1)、线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段AB的“ $[1 ， b]$ 关联线段”，点 $A^{'}$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，则 $A^{'} B^{'}$ 的长为， b的值为；

(2)、线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段AB的“ $[k ， 0]$ 关联线段”，直线 $l_{1}$ 经过点 $C (0 ， 2)$ ，若点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 都在直线 $l_{1}$ 上，连接 $O A^{^{'}}$ ，求 $∠ C O A^{'}$ 的度数；

(3)、点 $P (- 3 ， 0)$ ， $Q (- 3 ， 3)$ ，线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段AB的“ $[k ， b]$ 关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段 $A^{'} B^{'}$ 与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．

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$t / m i n$	0	3	6	9
$y / m$	675	600	525	450