北京市燕山地区2022年九年级中考二模数学试题

试卷更新日期：2023-03-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 北京2022年冬奥会会徽如图（一）是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面的四个图中，能由图（二）经过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（）

A、5×10¹⁰千克 B、50×10⁹千克 C、5×10⁹千克 D、0.5×10¹¹千克

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3. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是迄今发现的中国古代唯一一枚楷书印．它的表面均由正方形和等边三角形组成（如图1），可以看成图2所示的几何体．从正面看该几何体得到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 小鹏和同学相约去影院观看《厉害了，我的国》，在购票选座时，他们选定了方框所围区域内的座位（如图）．取票时，小鹏从这五张票中随机抽取一张，则恰好抽到这五个座位正中间的座位的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（）

A、15° B、25° C、35° D、45°

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6. 如图，小亮的数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.m，测得AB＝2m，BC＝14m，则旗杆CD高度是（）

A、9m B、10.m C、12m D、16m

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7. 已知二次函数y＝（x-1）²+1，若点A（0，y₁）和B（3，y₂）在此函数图象上，则y₁与y₂的大小关系是（）

A、y₁＞y₂ B、y₁＜y₂ C、y₁＝y₂ D、无法确定

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8. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，它沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映变量y与变量x的关系图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{x - 1}{x}$ 的值为0，则 $x$ 的值为.

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10. 如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是（写出一个即可）．

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11. 如图， $▱ A B C D$ 中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为．

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12. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格， $A$ ， $B$ ， $C$ 是网格线交点，则 $\cos ∠ A B C =$ ．

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13. 历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号 $f (x)$ 来表示，把x等于某数a时的多项式的值用 $f (a)$ 表示．例如多项式 $f (x) = x^{2} - x + 1$ ，当 $x = 4$ 时，多项式的值为 $f (4) = 4^{2} - 4 + 1 = 13$ ．已知多项式 $f (x) = m x^{3} - n x + 3$ ，若 $f (1) = 2022$ ，则 $f (- 1)$ 的值为．

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14. 图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为 $S_{1}$ ，正方形DEFG的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的值为．

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15. 要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是．

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16. “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算 $46 \times 71$ ，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则 $k =$ ．

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三、解答题

17. 计算： $| \sqrt{2} - 1 | - 2 s i n 45 ° - t a n 60 ° + {(π - 2)}^{0}$

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18. 解不等式组： ${\begin{matrix} 3 (2 - x) \leq x + 5 \\ \frac{x + 10}{3} > 2 x \end{matrix}$ ．

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19. 已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；
③画射线OP．
射线OP即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接PC，PD．
由作法可知OC=OD=PC=PD．
∴四边形OCPD是 ▲ ．
∴OP平分∠AOB（）（填推理的依据）．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x - 5 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程有一个根是1，求方程另一个根．

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21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作 $A E ⊥ B C$ 交BC于点E，点F在BC的延长线上，且 $C F = B E$ ，连接DF．

(1)、求证：四边形AEFD是矩形；

(2)、连接AC，若 $∠ A C D = 90 °$ ， $A E = 4$ ， $C F = 2$ ，求EC和AC的长．

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22. 某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．
请解决以下问题：

(1)、如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是，点C的坐标是，水流轨迹抛物线的对称轴是．

(2)、求出水柱最高点P到地面的距离．

(3)、在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．

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23. 图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与一次函数 $y_{2} = a x + 4 (a \neq 0)$ 的图像只有一个公共点A（2，2），直线 $y_{3} = m x (m \neq 0)$ 也过点A．

(1)、求k、a及m的值；

(2)、结合图像，写出 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ 时x的取值范围．

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24. 某中学为增进学生对建党100周年知识的了解，开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．
下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．

(1)、①学生甲第一次成绩是90分，则该生第二次成绩是 ▲ 分，他两次活动的平均成绩是 ▲ 分；
②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点；

(2)、为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组： $70 \leq x < 75$ ， $75 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 85$ ， $85 \leq x < 90$ ， $90 \leq x < 95$ ， $95 \leq x \leq 100$ ）：已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______；

A、 B、 C、

(3)、假设有200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为．

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25. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，AB＝BE，PD切⊙O于点D，交EB于点C，连接AE，点D在AE上．

(1)、求证：BE⊥PC；

(2)、连接OC，如果PD＝ $2 \sqrt{3}$ ， ∠ABC＝60°，求OC的长．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = x^{2} - 2 m x$ ．

(1)、当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；

(2)、求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；

(3)、若抛物线上存在两点 $A (m - 1 ， y_{1})$ 和 $B (m + 2 ， y_{2})$ ，其中 $m > 0$ ．当 $y_{1} \cdot y_{2} > 0$ 时，求m的取值范围．

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27. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， CD是AB边的中线， $D E ⊥ B C$ 于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）

(1)、如果 $∠ A = 30 °$
①如图1，DE与BE之间的数量关系是 ▲
②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．

(2)、如图3，若点P在线段CB的延长线上，且 $∠ A = α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转 $2 α$ 得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给出如下定义：若点 $P$ 在图形 $M$ 上，点 $Q$ 在图形 $N$ 上，如果 $P Q$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $M ， N$ 的“近距离”，记为 $d (M ， N)$ ．特别地，当图形 $M$ 与图形 $N$ 有公共点时， $d (M ， N) = 0$ ．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），

(1)、d（点A，点C）＝， d（点A，线段BD）＝；

(2)、⊙O半径为r，
① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝ ▲ ．

(3)、M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．

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