人教版八年级下数学疑难点专题专练——16.3二次根式的加减

试卷更新日期：2023-03-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若 $\sqrt{18 x}$ ＋2 $\sqrt{\frac{x}{2}}$ ＋ $\sqrt{2 x}$ ＝10，则x的值为（）

A、4 B、±4 C、2 D、±2

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2. 我们知道 $6 - \sqrt{2}$ 的小数部分b为 $2 - \sqrt{2}$ ，如果用a代表它的整数部分，那么 $a b^{2} - a^{2} b$ 的值是（）

A、8 B、－8 C、4 D、－4

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二、填空题

3. 若 $\sqrt{18}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 是同类二次根式，则 $x =$ ．

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4. 已知 $\sqrt{50} - \sqrt{2} = a \sqrt{2} - \sqrt{2} = b \sqrt{2}$ ，则 $a =$ ， $b =$ ．

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5. 计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24} =$ .

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三、计算题

6. 先化简，再求值： $6 x \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{3}{y} \sqrt{x y^{3}} - (4 y \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{36 x y})$ ，其中 $x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ．

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7. 计算：

(1)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$

(2)、 $(2 \sqrt{5} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{5} - \sqrt{6}) + \sqrt{5} - \sqrt{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}$

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8. 已知a＝ $\sqrt{3} + 1$ ，求代数式 $(4 - 2 \sqrt{3}) a^{2} + (1 - \sqrt{3}) a$ 的值．

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9. 计算：

(1)、 ${(- \sqrt{5})}^{2} - \sqrt{{(- 3)}^{2}} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} - 3 \sqrt{5} + \sqrt{3} \times \sqrt{15} + (- \sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ ．

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10.

(1)、计算： $\sqrt{27} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt[]{4} + (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)$ ；

(2)、解方程：x²﹣2x﹣1＝0．

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11. 计算与化简：

(1)、化简 $\frac{2}{x - 2} - \frac{2 x - 6}{2 - x}$

(2)、化简 $(\frac{a^{2}}{a - 3} + \frac{9}{3 - a}) \div \frac{a + 3}{a}$

(3)、计算 $\sqrt{8} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}} - 2 \sqrt{12} + \sqrt{18}$

(4)、计算 $(4 \sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{\frac{1}{2}} - 2 \sqrt{3})$

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12. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} + \sqrt{8} \times \sqrt{6}$

(2)、 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{45} - \sqrt{\frac{1}{5}}$

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13. 计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{2}{3}} - (\frac{1}{6} \sqrt{24} - \frac{3}{2} \sqrt{12}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ ．

(2)、a，b分别是 $7 - \sqrt{5}$ 的整数部分和小数部分，求 $2 a^{2} - b$ 的值．

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14.

(1)、 $- \frac{\sqrt{8}}{3} \times 2 \sqrt{54} \div 7 \sqrt{\frac{6}{5}}$

(2)、 $(3^{- 1} × \sqrt{27} + \sqrt{24} - 6 \sqrt{\frac{2}{3}}) × \sqrt{12} - {(3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}^{2}$

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15. 计算： $3 \sqrt{27} \div \frac{\sqrt{3}}{6} \times 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

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四、解答题

16. 若 $x = \sqrt{6} + 2$ ，求 $(10 - 4 \sqrt{6}) x^{2} - (\sqrt{6} - 2) x + 6$ 的值.

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17. 已知x＝ $\sqrt{2}$ -1，求代数式（3+2 $\sqrt{2}$ ）x²+（ $\sqrt{2}$ +1）x+ $\sqrt{2}$ 的值．

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五、综合题

18. 阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子” $．$ 如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1$ ， $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如 $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式可以是， $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得．

(2)、计算：
① $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1999} + \sqrt{2000}}$ ．
②已知： $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

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19. 计算：

(1)、 $\sqrt{24} + \sqrt{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt{6}$

(2)、 $\sqrt{\frac{2}{3}} \div \sqrt{2 \frac{2}{3}} \times \sqrt{\frac{2}{5}}$

(3)、 $(\sqrt{3} - 2)^{2013} \cdot (2 + \sqrt{3})^{2014} - 2 | - \frac{\sqrt{3}}{2} | - (- \sqrt{3})^{0}$

(4)、 $(\sqrt{48} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}}) - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} - 2 \sqrt{0.5})$

(5)、先化简，再求值： $(\frac{3 x + 4}{x^{2} - 1} - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

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20.

(1)、已知 $m = \sqrt{3} - 1$ ， $n = \sqrt{3} + 1$ ，求代数式 $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$ 的值.

(2)、已知 $x - \frac{1}{x} = 2$ ，求 $\sqrt{x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 14}$ 的值.

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