人教版八年级下数学疑难点专题专练——16.2二次根式的乘除

试卷更新日期：2023-03-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 化简二次根式 $\sqrt{\frac{b^{3}}{a}} (a < 0)$ 得（）

A、 $\frac{b \sqrt{a b}}{a}$ B、 $- \frac{b \sqrt{a b}}{a}$ C、 $\frac{b \sqrt{- a b}}{a}$ D、 $- \frac{b \sqrt{- a b}}{a}$

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2. 若 $m n > 0 ， m + n < 0$ ，则化简 $\sqrt{m n} ÷ \sqrt{\frac{n}{m}} =$ （）

A、m B、-m C、n D、-n

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3. 计算 $\sqrt{45}$ ÷3 $\sqrt{2}$ × $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 的结果正确的是（）

A、1 B、2.5 C、5 D、6

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二、填空题

4. 若二次根式 $\sqrt{2 x + 7}$ 是最简二次根式，则x可取的最小整数是．

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5. 满足不等式 $\frac{4}{\sqrt{2} + 1} < m < \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ 的整数 $m$ 的个数是.

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6. 如果x²﹣3x+1=0，则 $\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2}$ 的值是．

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7. 若 $m = \frac{2013}{\sqrt{2014} - 1}$ ，则 $m^{5} - 2 m^{4} - 2013 m^{3}$ 的值为．

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三、计算题

8. 先化简，再求值： $6 x \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{3}{y} \sqrt{x y^{3}} - (4 y \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{36 x y})$ ，其中 $x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ．

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9.

(1)、 $- \frac{\sqrt{8}}{3} \times 2 \sqrt{54} \div 7 \sqrt{\frac{6}{5}}$

(2)、 $(3^{- 1} × \sqrt{27} + \sqrt{24} - 6 \sqrt{\frac{2}{3}}) × \sqrt{12} - {(3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}^{2}$

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10. 计算： $6 \sqrt{1 \frac{3}{5}} \div 2 \sqrt{2} \times (- \frac{1}{2} \sqrt{60})$

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11. 计算：

(1)、 $\sqrt{0.25 \times 0.36}$

(2)、 $\sqrt{\frac{16 \times 25}{64}}$

(3)、 $\sqrt{- 4 \times \frac{25}{9} \times (- 169)}$

(4)、 $\sqrt{(1.6 \times 10^{3}) \times (2.5 \times 10^{5})}$

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12. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{48} \times 3 \sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{45}$

(3)、 $\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + 6 \sqrt{\frac{x}{4}} - 2 x \sqrt{\frac{1}{x}}$

(4)、 ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$

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13. $\sqrt{\frac{b}{a}} \div \sqrt{a b} \times \sqrt{\frac{a^{3}}{b}}$

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14.

(1)、计算： $9 \sqrt{45} \div 3 \sqrt{\frac{1}{5}} \times \frac{3}{2} \sqrt{2 \frac{2}{3}}$ ；

(2)、化简： $\sqrt{12} + \sqrt{27} + \frac{1}{4} \sqrt{48} - 15 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

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15. 计算：

(1)、 $4 \sqrt{5} + \sqrt{45} - \sqrt{8} + 4 \sqrt{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{2 \frac{1}{2}} \div (3 \sqrt{28}) \times (- 5 \sqrt{2 \frac{2}{7}})$ ．

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16. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \div 5 \sqrt{2}$

(2)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{6}) \times \sqrt{2} + {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ .

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17. 计算： $3 \sqrt{6} \times \frac{1}{3} \sqrt{30} \div \sqrt{2}$ ．

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18. 计算：

(1)、 $\frac{2}{y} \sqrt{x y^{5}} (- \frac{3}{2} \sqrt{x^{3} y}) \div 3 \sqrt{\frac{y}{x}}$

(2)、 $\sqrt{75} - \sqrt{27} \div \sqrt{2 \frac{1}{4}} + (3 - \sqrt{3}) (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$

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四、解答题

19. 在解决问题“已知a＝ $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求3a²﹣6a﹣1的值”时，小明是这样解答的：
∵a＝ $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} + 1$ ，

∴a﹣1＝ $\sqrt{2}$ ，

∴（a﹣1）²＝2，即a²﹣2a+1＝2，

∴a²﹣2a＝1，

∴3a²﹣6a＝3，

∴3a²﹣6a﹣1＝2．

请你根据小明的解答过程，解决下面的问题：

若a＝ $\frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求2a²﹣12a+1的值．

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20. 先化简再求值： $(\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + y^{2} \sqrt{\frac{x}{y^{3}}}) - (x^{2} \sqrt{\frac{1}{x}} - 4 x \sqrt{\frac{y}{x}})$ ，其中 $| x - 3 | + \sqrt{y - 4} = 0$ ．

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五、综合题

21. 阅读并完成下面问题：
① $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
② $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
③ $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ .
试求：

(1)、下列各数中，与 $2 - \sqrt{3}$ 的积是有理数的是____.

A、 $2 + \sqrt{3}$ ； B、2； C、 $\sqrt{3}$ ； D、 $2 - \sqrt{3}$

(2)、 $\sqrt{7} + \sqrt{6}$ 的倒数为.

(3)、若 $x = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $x^{2} - 2 x$ 的值.

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22. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2}$ ＝（1+ $\sqrt{2}$ ）².设a+b $\sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b $\sqrt{2}$ ＝m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ， ∴a＝m²+2n² ， b＝2mn.这样可以把部分a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\sqrt{3}$ ＝（m+n $\sqrt{3}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝.

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ $\sqrt{5}$ ＝（+ $\sqrt{5}$ ）²；

(3)、化简 $\frac{1}{\sqrt{16 - 6 \sqrt{7}}} - \frac{1}{\sqrt{11 + 4 \sqrt{7}}}$

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23.

(1)、已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 $| a | - \sqrt{{(a + c)}^{2}} + \sqrt{{(c - a)}^{2}} - \sqrt{b^{2}}$ ；

(2)、已知a，b满足 $\sqrt{4 a - b + 1} + {(a + 2 b + 7)}^{2} = 0$ ，求 $2 a \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot \sqrt{- b}$ 的值.

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24. 阅读材料：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m、n ，是m²+n²＝x且mn＝ $\sqrt{y}$ ，则把x±2 $\sqrt{y}$ 变成m²+n²±2mn＝(m±n)²开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简．
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解：∵3+2 $\sqrt{2}$ ＝1+2+2 $\sqrt{2}$ ＝1²+( $\sqrt{2}$ )²+2×1× $\sqrt{2}$ ＝(1+ $\sqrt{2}$ )²

∴ $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ .

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25. 【材料阅读】
材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 的式子，可以通过分母有理化进行化简或计算．如化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ．具体方法如下：
方法一： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} - 1$ ．
方法二： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ．
材料二：我们在学习分式时知道，对于公式 $\frac{b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{b + c}{a}$ 可以逆用．即： $\frac{b + c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a}$ ．
【问题解决】

(1)、化简： $\frac{3}{\sqrt{10} - \sqrt{7}} =$ ；

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}) + \cdot \cdot \cdot + (\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{101} + \sqrt{100}})$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \frac{1}{4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{21 \sqrt{20} + 20 \sqrt{21}}$ ．

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