广东省梅州市2023届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2023-03-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = - 2 i$ ， $i$ 是虚数单位，则 $z$ 在复平面内的对应点落在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $M = {x | x (x - 4) \leq 0}$ ， $N = {x | | x - 1 | < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1 ， 4]$ B、 $[0 ， 3)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $[3 ， 4)$

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3. 为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（）

A、 $x = 0.015$ B、估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125 C、估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119 D、四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%

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4. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (\frac{2 π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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5. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为 $6 0^{∘}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 若从0，1，2，3，…9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯}$ 重新编辑，编辑新序列为 $A^{*} = {\frac{a_{2}}{a_{1}} ， \frac{a_{3}}{a_{2}} ， \frac{a_{4}}{a_{3}} ， ⋯}$ ，它的第 $n$ 项为 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，若序列 ${(A^{*})}^{*}$ 的所有项都是2，且 $a_{4} = 1$ ， $a_{5} = 32$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{512}$ C、. $\frac{1}{1024}$ D、 $\frac{1}{2048}$

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8. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面 $A B C D$ 为正方形， $E F$ $∥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B F E$ ， $C D E F$ 为两个全等的等腰梯形， $E F = \frac{1}{2} A B = 2$ ，且 $A E = \sqrt{6}$ ，则此刍甍的外接球的表面积为（）

A、 $60 π$ B、 $64 π$ C、 $68 π$ D、 $72 π$

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减 D、函数 $f (x - \frac{π}{6})$ 是偶函数

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10. 设 $S_{n}$ 是公差为 $d$ （ $d \neq 0$ ）的无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则 $S_{1}$ 是数列 ${S_{n}}$ 的最大项 B、若数列 ${S_{n}}$ 有最小项，则 $d > 0$ C、若数列 ${S_{n}}$ 是递减数列，则对任意的： $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{n} < 0$ D、若对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{n} > 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是递增数列

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 6$ ， $C C_{1} = 4$ ， $A C ⊥ B C$ ， $M$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点； $E$ 为棱 $B B_{1}$ 上的动点（含端点），过点A､ $E$ ､ $M$ 作三棱柱的截面 $α$ ，且 $α$ 交 $B_{1} C_{1}$ 于 $Q$ ，则（）

A、线段 $M E$ 的最小值为 $\sqrt{45}$ B、棱 $B B_{1}$ 上的不存在点 $E$ ，使得 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A E M$ C、棱 $B B_{1}$ 上的存在点 $E$ ，使得 $A E ⊥ M E$ D、当 $E$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点时， $M E = 7$

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12. 对于定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ，若满足： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“非减函数”，若 $f (x)$ 为区间 $[0 ， 2]$ 上的“非减函数”，且 $f (2) = 2$ ， $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，又当 $x \in [\frac{3}{2} ， 2]$ 时， $f (x) \leq 2 (x - 1)$ 恒成立，下列命题中正确的有（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $\exists x_{0} \in [\frac{3}{2} ， 2]$ ， $f (x_{0}) < 1$ C、 $f (\frac{1}{4}) + f (\frac{2}{3}) + f (\frac{25}{18}) + f (\frac{7}{4}) = 4$ D、 $\forall x \in [0 ， \frac{1}{2}]$ ， $f (f (x)) \leq - f (x) + 2$

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三、填空题

13. $(1 + x) (2 - x)^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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14. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 1)$ 绕着原点 $O$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到点 $B$ ，点 $B$ 的横坐标为.

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15. 甲､乙､丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A､B､C三个学校，并分别获得第一､二､三名：已知：①甲不是A校选手；②乙不是B校选手；③A校选手不是第一名；④B校的选手获得第二名；⑤乙不是第三名.根据上述情况，可判断出丙是校选手，他获得的是第名.

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16. 函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4}} + \sqrt{\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} - 4 x + 13}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} a s i n B + b c o s A = 2 b$ .

(1)、求内角 $A$ ；

(2)、点 $M$ 是边 $B C$ 上的中点，已知 $A M = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 记 $S_{n}$ 是正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若存在某正数M， $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $S_{n} < M$ ，则称 ${a_{n}}$ 的前n项和数列 ${S_{n}}$ 有界.从以下三个数列中任选两个，① ${{(\frac{1}{2})}^{n}}$ ；② ${\frac{1}{n^{2}}}$ ；③ ${\frac{1}{n}}$ ，分别判断它们的前 $n$ 项和数列是否有界，并给予证明.

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19. 如图，在边长为4的正三角形 $A B C$ 中， $E$ 为边 $A B$ 的中点，过 $E$ 作 $E D ⊥ A C$ 于 $D$ .把 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A_{1} D E$ 的位置，连接 $A_{1} C$ ､ $A_{1} B$ .

(1)、 $F$ 为边 $A_{1} C$ 的一点，若 $\vec{C F} = 2 \vec{F A_{1}}$ ，求证： $B F$ $/ /$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、当四面体 $C - E B A_{1}$ 的体积取得最大值时，求平面 $A_{1} D E$ 与平面 $A_{1} B C$ 的夹角的余弦值.

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20. 甲､乙､丙､丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.
队伍
近10场胜场比
队伍
甲
$7 ： 3$
乙
甲
$5 ： 5$
丙
甲
$4 ： 6$
丁
乙
$4 ： 6$
丙
乙
$5 ： 5$
丁
丙
$3 ： 7$
丁

(1)、三轮比赛结束后甲的积分记为 $X$ ，求 $P (X = 3)$ ；

(2)、若前二轮比赛结束后，甲､乙､丙､丁四支球队积分分别为3､3､0､6，求甲队能小组出线的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 a x) l n x + \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a > \frac{1}{e}$ ，讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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22. 已知动圆 $M$ 经过定点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ，且与圆 $F_{2}$ ： ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 内切.

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设轨迹 $C$ 与 $x$ 轴从左到右的交点为点 $A ， B$ ，点 $P$ 为轨迹 $C$ 上异于 $A ， B$ 的动点，设 $P B$ 交直线 $x = 4$ 于点 $T$ ，连结 $A T$ 交轨迹 $C$ 于点 $Q$ .直线 $A P$ ､ $A Q$ 的斜率分别为 $k_{A P}$ ､ $k_{A Q}$ .
（i）求证： $k_{A P} \cdot k_{A Q}$ 为定值；
（ii）证明直线 $P Q$ 经过 $x$ 轴上的定点，并求出该定点的坐标.

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队伍	近10场胜场比	队伍
甲	$7 ： 3$	乙
甲	$5 ： 5$	丙
甲	$4 ： 6$	丁
乙	$4 ： 6$	丙
乙	$5 ： 5$	丁
丙	$3 ： 7$	丁