福建省漳州市2023届高三数学第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x \in Z | | x | \leq 3}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知命题p： $\forall x \geq 0$ ， $l n (1 + x) \geq x - \frac{x^{2}}{2}$ ，则命题p的否定为（）

A、 $\forall x \geq 0$ ， $l n (1 + x) < x - \frac{x^{2}}{2}$ B、 $\exists x \geq 0$ ， $l n (1 + x) < x - \frac{x^{2}}{2}$ C、 $\forall x < 0$ ， $l n (1 + x) < x - \frac{x^{2}}{2}$ D、 $\exists x < 0$ ， $l n (1 + x) < x - \frac{x^{2}}{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $s i n A$ ， $c o s B$ 分别是方程 $6 x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个根，则 $s i n C =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{6}$ C、 $- \frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$

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4. 已知某圆锥的底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ ，则它的侧面积与底面积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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5. 2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{7}$

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6. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若 $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A D}$ ， $\vec{E G} = λ \vec{E F}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列 ${a_{n}}$ 的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记 $b_{n} = (- 1)^{n} \cdot a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前20项和是（）

A、110 B、100 C、90 D、80

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = 3 [f (x)]^{2} - m f (x) - 2 m^{2} (m \in R)$ 恰有5个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5}$ ， $f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $2 f (x_{1}) + f (x_{3}) + f (2 - x_{3})$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(- \frac{2}{3 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \frac{3}{2 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{2 e}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{2 e}{3})$

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二、多选题

9. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 2$ ，则（）

A、 $| z | = 2$ B、 $\bar{z} = 1 + i$ C、 $z^{2} = 2 i$ D、 $z \cdot \bar{z} = 2$

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10. 函数 $f (x) = A s i n (2 x + φ) (A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ D、 $f (x + \frac{π}{6})$ 是奇函数

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ 的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且 $\vec{O A} = 2 a_{2} \vec{O B} + 4 a_{3} \vec{O C}$ ，则（）

A、 $a_{3} = 2 a_{2}$ B、数列 ${a_{n}}$ 的前6项和为 $\frac{63}{64}$ C、数列 ${l o g_{2} a_{n}}$ 是递减的等差数列 D、若 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和的最大值为1

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12. 已知 $F_{1} (- 2 ， 0) ， F_{2} (2 ， 0)$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，且 $F_{2}$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ， $O$ 为坐标原点，点 $M (1 ， \sqrt{3})$ ， $P$ 为 $C$ 右支上的一点，则（）

A、 $a = b = \sqrt{2}$ B、过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点 C、 $| P O |^{2} = | P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ D、当 $P ， M ， F_{1} ， F_{2}$ 四点共圆时， $∠ P F_{1} F_{2} = 15 °$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = e^{x} - 1$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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14. $x (1 - x)^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数是．（用数字作答）

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15. 已知 $P$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的一个动点，直线 $l ： x = - 1$ ， $Q$ 为圆 $M ： (x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离与 $| P Q |$ 之和的最小值为．

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16. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，若 $c o s ⟨ \vec{A B} ， \vec{A C_{1}} ⟩ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该长方体的外接球的表面积为；记 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别是 $\vec{A B} ， \vec{A D}$ 方向上的单位向量，且 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{6}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} = \vec{a} \cdot \vec{e_{2}} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{a} - m \vec{e_{1}} - n \vec{e_{2}} |$ （m，n为常数）的最小值为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 0$ ，且____．在① $S_{7} = a_{4} + 12$ ， ② $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 6$ 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n + 2}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 $a = 2 c o s B (b c o s C + c c o s B)$ ．

(1)、求B；

(2)、已知点D在边AC上，且BD是 $∠ A B C$ 的平分线， $B D = 2$ ，求 $a + c$ 的最小值．

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19. 如图1，在直角梯形BCDE中， $B C / / D E$ ， $B C ⊥ C D$ ， A为DE的中点，且 $D E = 2 B C = 4$ ， $B E = 2 \sqrt{2}$ ，将 $△ A B E$ 沿AB折起，使得点E到达P处（P与D不重合），记PD的中点为M，如图2．

(1)、在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；

(2)、当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．

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20. 北京时间2022年11月21日0时，卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次．已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖．假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．

(1)、任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；

(2)、任选2名成功下单金额达500元的顾客，记 $ξ$ 为他们获得的奖金总数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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21. 已知函数 $f (x) = a x - b s i n x - e^{x} (a ， b \in R)$ ．

(1)、当 $b = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = \frac{1}{6} x^{3} - e^{x}$ ，求证：当 $a = b = 1$ 时，对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，恒有 $f (x) < g (x)$ ．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 4$ ．过右焦点 $F_{2}$ 的直线l与C交于A，B两点， $△ A B F_{1}$ 的周长为 $8 \sqrt{2}$ ．

(1)、求C的标准方程；

(2)、过坐标原点O作一条与垂直的直线 $l^{'}$ ，交C于P，Q两点，求 $\frac{| A B |}{| P Q |}$ 的取值范围；

(3)、记点A关于x轴的对称点为M（异于B点），试问直线BM是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由．

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