安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2023-03-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | | x - 1 | \leq 1}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 设复数z满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则z= （）

A、-1+i B、-1-i C、1+i D、1-i

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3. “ $c o s α = \frac{1}{2}$ ”是“ $c o s 2 α = - \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入 $3 \times 3$ 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， $n^{2}$ 填入 $n \times n$ 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为 $S_{n}$ ，如 $S_{3} = 45$ ，那么下列说法错误的是（）

A、 $S_{6} = 666$ B、7阶幻方第4行第4列的数字为25 C、8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D、9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396

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5. 函数 $f (x) = (\frac{1}{3^{x} + 1} - \frac{1}{2}) l n | x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $(1 + 2 x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ，若 $a_{7} = a_{8}$ ，则 $n =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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7. 已知 $A ， B ， C$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上不同的三点，且 $\vec{A C} + \vec{B C} = 2 \vec{O C}$ ，直线AC，BC的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ （ $k_{1} k_{2} \neq 0$ ），若 $| k_{1} | + | k_{2} |$ 的最小值为1，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 已知 $3^{m} = 4$ ， $a = 2^{m} - 3$ ， $b = 4^{m} - 5$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $b > 0 > a$ C、 $a > b > 0$ D、 $b > a > 0$

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， 2)$ ， $\vec{c} = (2 ， t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $t = - 1$ B、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $t = - 4$ C、若 $t = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{5} \vec{c}$ D、若 $t > - 4$ ，则向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为锐角

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象相邻对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴方程是 $x = \frac{2}{3} π$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到正弦函数 $g (x) = s i n x$ 的图象

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b = \frac{1}{4}$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{2}$ C、 $l o g_{2} a \cdot l o g_{2} b \leq 1$ D、 $a + l n b \geq \frac{1}{2} - l n 2$

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12. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为棱AD， $A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，过点E，F，G的平面记为平面 $α$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $F G / /$ 平面 $A C B_{1}$ B、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $α$ C、平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球所得圆的面积为 $2 π$ D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上与点E的距离为 $\sqrt{5}$ 的点形成的曲线的长度为 $4 π$

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三、填空题

13. 一组样本数据： $(1 ， b_{1})$ ， $(2 ， b_{2})$ ， $(3 ， b_{3})$ ， $(4 ， b_{4})$ ， $(a ， b_{5})$ ，由最小二乘法求得线性回归方程为 $\hat{y} = 3 x - 4$ ，若 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} = 25$ ，则实数a的值为.

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14. 若抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 存在以点 $(3 ， 3)$ 为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n} + 2)}}$ 的前n项和 $T_{n} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - x^{2} + 2 a x - a^{2}$ （e为自然对数的底数），若 $f (x) \geq - 3$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $(b - c) (s i n B - s i n C) = a s i n A - b s i n C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $s i n B + s i n C$ 的取值范围.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A D / / B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $B C = 6$ ， $P A = A D = D C = 2$ ， $E$ 为棱 $P C$ 靠近点 $P$ 的三等分点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求 $D E$ 与平面 $P B C$ 所成的角的正弦值.

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1$ ，且 $a_{n + 2} + (- 1)^{n} a_{n} = 4$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{23}$ .

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20. 宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、求n的值；

(2)、若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， M为椭圆上异于左右顶点的动点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点M作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求 $△ O P Q$ 的面积的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a (x - l n x) - \frac{b e}{x}$ （e为自然对数的底数），a， $b \in R$ .

(1)、当 $b = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、当 $b = 1$ 时，若存在 $x \in [1 ， e]$ ，使 $f (x) > 0$ ，求a的取值范围.

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