安徽省淮北市2023届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2023-03-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $P = {x \in Ν | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ 和 $Q = {x | x = 2 k - 1 ， k \in Ζ}$ ，则集合 $P ∩ (∁_{U} Q)$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知复数z在复平面内对应点是 $(2 ， - 1)$ ，则 $\frac{z + 2}{z - 1} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{5}{2} - \frac{3}{2} i$

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3. 如图所示，在三棱台 $A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}} - A B C$ 中，沿平面 $A^{'} B C$ 截去三棱锥 $A^{^{'}} - A B C$ ，则剩余的部分是（）

A、三棱锥 B、四棱锥 C、三棱柱 D、组合体

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4. 已知 $\frac{c o s 2 α}{s i n α + c o s α} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (α + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上，且直线 $O A ， O B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则 ${x_{1}}^{2} - {y_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - {y_{2}}^{2} =$ （）

A、1 B、3 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $\overset{⌢}{A B} ， \overset{⌢}{C D} ， \overset{⌢}{E F} ， \overset{⌢}{G H}$ 分别是单位圆上的四段弧，点 $P$ 在其中一段上，角 $α$ 以 $O x$ 为始边， $O P$ 为终边．若 $s i n α < c o s α < t a n α$ ，则 $P$ 所在的圆弧是（）

A、 $\overset{⌢}{A B}$ B、 $\overset{⌢}{C D}$ C、 $\overset{⌢}{E F}$ D、 $\overset{⌢}{G H}$

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7. 如图，对于曲线 $Γ$ 所在平面内的点 $O$ ，若存在以 $O$ 为顶点的角 $α$ ，使得对于曲线 $Γ$ 上的任意两个不同的点A，B恒有 $∠ A O B \leq α$ 成立，则称角 $α$ 为曲线 $Γ$ 的相对于点 $O$ 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线 $Γ$ 的相对于点 $O$ 的“确界角”．已知曲线 $C ： y = {\begin{array}{l} x e^{x - 1} + 1 ， x \geq 0 ， \\ 4 x^{2} + x + 1 ， x < 0 \end{array}$ （其中 $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）， $O$ 为坐标原点，则曲线 $C$ 的相对于点 $O$ 的“确界角”为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 对于一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，D，其中 $n (Ω) = 60$ ， $n (A) = 30$ ， $n (B) = 10$ ， $n (C) = 20$ ， $n (D) = 30$ ， $n (A ∪ B) = 40$ ， $n (A ∩ C) = 10$ ， $n (A ∪ D) = 60$ ，则（）

A、A与B不互斥 B、A与D互斥但不对立 C、C与D互斥 D、A与C相互独立

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二、多选题

9. 已知 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点（不包含顶点），且 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则（）

A、 $x + y = 1$ B、 $x + 2 y = 1$ C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y} ≥ \sqrt{2}$ D、 $l o g_{2} x + l o g_{2} y \leq - 2$

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10. 已知函数 $f (x) = x l n (1 + x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- \frac{1}{2} ， f (- \frac{1}{2}))$ 处切线的斜率为 $- 1 - l n 2$ D、 $f (x)$ 是奇函数

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11. 已知曲线 $Γ ： y^{2} = 16 x$ ，直线l过点 $F (4 ， 0)$ 交 $Γ$ 于A，B两点，下列命题正确的有（）

A、若A点横坐标为8，则 $| A B | = 24$ B、若 $P (2 ， 3)$ ，则 $| A P | + | A F |$ 的最小值为6 C、原点O在AB上的投影的轨迹与直线 $x + \sqrt{3} y - 6 = 0$ 有且只有一个公共点 D、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则以线段AB为直径的圆的面积是 $81 π$

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12. 如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ），得到四个小正方形 $A ， B ， C ， D$ ，记它们的面积分别为 $S_{A} ， S_{B} ， S_{C} ， S_{D}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $S_{A} + S_{D} = S_{B} + S_{C}$ B、 $S_{A} \cdot S_{D} = S_{B} \cdot S_{C}$ C、 $S_{A} + S_{D} ⩾ 2 S_{B}$ D、 $S_{D} + S_{A} < 2 S_{C}$

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三、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项是（用数字作答）．

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14. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形， $∠ A B C = 120 °$ ，棱长均为4， $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点分别为 $P$ 、 $Q$ ，则三棱锥 $P - A_{1} D_{1} Q$ 的体积为．

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15. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} ， x < 0 ， \\ e^{x} ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ 3 - x ， x > 1 . \end{array}$ 若互不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) + x_{3} f (x_{3})$ 的取值范围是．

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = λ$ 过点 $(\sqrt{5} ， \sqrt{3})$ ，则其方程为，设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为 $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内心，则 $| M E | - | N E |$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 设 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{c s i n C}{a} - s i n C = \frac{b s i n B}{a} - s i n A$ ， $b = 4$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小

(2)、若 $c = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 2 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = (2 n + 1) (a_{n + 1} - a_{n})$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $S_{n}$ ．

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形， $B C = 2 A B$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P B ⊥ A C$ ．

(1)、求证：面 $P A B ⊥$ 面ABCD；

(2)、设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 $A C$ $∥$ 平面BEQF，是否存在点Q，使得平面 $B E Q F ⊥$ 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．

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20. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50

(1)、从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；

(2)、从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以 $X$ 表示这2人中团体赛获奖的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为 $ξ$ ，来自高二的人数为 $η$ ，试判断 $D (ξ)$ 与 $D (η)$ 的大小关系．（结论不要求证明）

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21. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， A、F分别为 $Γ$ 的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与 $Γ$ 交于M点（第二象限）， $| O M | = \frac{a}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率e；

(2)、若 $b = 2$ ，直线 $l / / A M$ ， l交 $Γ$ 于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
（ⅰ）若l过F，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；
（ⅱ）若l不过原点，求 $S_{△ O P Q}$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - k x - k$ ， $k \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $k = 1$ 时，令 $g (x) = \frac{2 f (x)}{x^{2}}$
（ⅰ）证明：当 $x > 0$ 时， $g (x) > 1$ ；
（ⅱ）若数列 ${x_{n}}$ 满足： $x_{1} = \frac{1}{3}$ ， $e^{x_{n + 1}} = g (x_{n})$ ，证明： $x_{n} < l n (1 + \frac{1}{2^{n}})$ ．

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奖项组别	个人赛			团体赛获奖
奖项组别	一等奖	二等奖	三等奖	团体赛获奖
高一	20	20	60	50
高二	16	29	105	50