安徽省合肥市2023届高三下学期数学第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 - i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} i$

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2. 设集合 $M = {x | x = \frac{n}{2} + \frac{1}{4} ， n \in Z}$ ， $N = {x | x = \frac{n}{4} ， n \in Z}$ ，则 $∁_{N} M =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x = \frac{n}{2} ， n \in Z}$ C、 ${x | x = \frac{3 n}{4} ， n \in Z}$ D、 ${x | x = 2 n ， n \in Z}$

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3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（）

A、0.495% B、0.9405% C、0.99% D、0.9995%

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4. 将函数 $y = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 图像上各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知p： $x + y > 0$ ， q： $l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - l n (\sqrt{y^{2} + 1} - y) > 0$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且 $A B = P Q = 2$ ，当PQ绕点A转动时， $\vec{B P} \cdot \vec{C Q}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 3]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 3 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 3]$

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7. 抛物线E： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，曲线l： $y = \frac{1}{2} | x - 1 |$ 交抛物线E于A，B两点，则 $△ A B F$ 的面积为（）

A、4 B、6 C、 $3 \sqrt{5}$ D、8

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，M，N分别是侧面 $C D_{1}$ 和侧面 $B C_{1}$ 的中心，过点M的平面 $α$ 与直线ND垂直，平面 $α$ 截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面记为S，则S的面积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $7 \sqrt{6}$ D、 $9 \sqrt{6}$

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二、多选题

9. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x^{a} - a^{x} (x > 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 4^{n} + λ {(- 2)}^{n + 1}$ ．若对 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ 成立，则整数 $λ$ 的值可能是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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11. 已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 $\sqrt{7}$ ，高为 $\sqrt{3}$ ．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（）

A、三角形 $S P Q$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ B、三棱锥 $O - S P Q$ 体积的最大值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、四面体 $S O P Q$ 外接球表面积的最小值为11 $π$ D、直线SP与平面 $S O Q$ 所成角的余弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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12. 已知函数 $f (x + 1)$ 是偶函数，且 $f (2 + x) = - f (x)$ ．当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x c o s \frac{1}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{4 π + 1}{π} ， \frac{6 π - 1}{π})$ 上有且只有一个零点 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{6}{5 π} ， 1)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 区间 $(\frac{1}{π} ， 1)$ 上有且只有一个极值点

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{3} - a l n x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 平行，则实数 $a =$ ．

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14. 二项式 ${(x + 1)}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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15. 已知AB为圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 3$ 的一条弦，M为线段AB的中点．若 $C M^{2} + O M^{2} = 3$ （O为坐标原点），则实数m的取值范围是．

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16. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于Q点．若 $A Q / / P F_{2}$ ，则双曲线E的离心率的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 2 a_{2}$ ， $S_{3} = a_{2}^{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \frac{1}{a_{3}^{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2}} < 1 (n \in N^{*})$ ．

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18. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点M为棱 $A A_{1}$ 的中点，P，Q分别为棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的点，且 $B_{1} P = C Q = 1$ ， PQ交 $B C_{1}$ 于点N．

(1)、求证： $M N / /$ 平面ABCD；

(2)、求多面体 $B D M P Q$ 的体积．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 $b^{2} + 2 c^{2} - 2 a^{2} = 0$ ．

(1)、若 $t a n C = \frac{1}{3}$ ，求A的大小；

(2)、当 $A - C$ 取得最大值时，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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20. 已知曲线C： $x^{2} + y^{2} = 2$ ，从曲线C上的任意点 $P (x ， y)$ 作压缩变换 ${\begin{array}{l} x^{'} = x \\ y^{'} = \frac{y}{\sqrt{2}} \end{array}$ 得到点 $P^{^{'}} (x^{^{'}} ， y^{^{'}})$ ．

(1)、求点 $P^{^{'}} (x^{^{'}} ， y^{^{'}})$ 所在的曲线E的方程；

(2)、设过点 $F (- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线 $x = - 2$ 的位置关系，并写出分析过程．

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21. 研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增就诊人数y（位）
$y_{1}$
$y_{2}$
$y_{3}$
$y_{4}$
$y_{5}$
$y_{6}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} y_{i}^{2} = 3160$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 256$ ．
参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

(1)、已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为 $\frac{17}{24}$ ，求 $y_{1}$ 的值；

(2)、已知两个变量x与y之间的样本相关系数 $r = \frac{15}{16}$ ，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a - x^{2}}{2 x}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = a$ 有两个实数解，求a的最大整数值．

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日期	第一天	第二天	第三天	第四天	第五天	第六天
昼夜温差x（℃）	4	7	8	9	14	12
新增就诊人数y（位）	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$y_{4}$	$y_{5}$	$y_{6}$