安徽省蚌埠市2023届高三下学期数学第二次教学质量检查试卷

试卷更新日期：2023-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 3 < x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 \leq x < 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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3. 已知双曲线C： $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，其一条渐近线被圆 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 3$ 截得弦长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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4. 已知随机变量X服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (X > 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $a ⊥ α$ ， $b \subset β$ ， $a ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a ∥ b$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ b$ ， $α ∩ β = b$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{243}$ B、 $\frac{1}{81}$ C、 $\frac{1}{27}$ D、 $\frac{1}{9}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A、 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | - 2 s i n 2 x$ B、 $f (x) = | s i n x | - | c o s x | + 2 s i n 2 x$ C、 $f (x) = | s i n x | - | c o s x | + 2 c o s 2 x$ D、 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | + 2 c o s 2 x$

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8. 已知 $x_{1} = l o g_{5} 2$ ， $x_{2} + l n x_{2} = 0$ ， $3^{- x_{3}} = l o g_{2} x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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二、多选题

9. 关于平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，下列说法不正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a}$

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10. 作为世界经济增长的重要引擎，中国经济充满韧性活力，备受世界瞩日．当前，新冠疫情延宕反复，全球通胀攀升，美联储激进加息冲击全球，世界经济下行压力明显增大．在此背景下，中国经济稳住了自身发展势头，不断向世界经济输送宝贵增长动能，续写世界经济发展史上的中国奇迹．中共二十大报告为中国的未来擘画了发展蓝图，让全球经济界人士继续看好中国经济光明前景．根据世界银行最新公布的数据，下列说法正确的是（）

世界主要国家经济增长率和对世界经济增长的贡献率（单位：%）

国家	经济增长率			对世界经济增长的贡献率^①
国家	2013年	2021年	2013-2021年平均增速	2013年	2021年	2013-2021年年均贡献率
中国	7.8	8.1	6.6	35.7	24.9	38.6
美国	1.8	5.7	2.0	16.1	23.0	18.6
日本	2.0	1.6	0.4	4.4	1.5	0.9
德国	0.4	2.9	1.0	0.7	2.1	1.8
英国	1.9	7.4	1.4	2.7	4.5	2.1
印度	6.4	8.9	5.4	5.6	4.7	5.8
法国	0.6	7.0	0.9	0.7	3.5	1.1
意大利	$- 1.8$	6.6	0.0	$- 1.8$	2.4	0.0
加拿大	2.3	4.6	1.5	1.8	1.5	1.2
韩国	3.2	4.0	2.6	2.2	1.4	2.0

注：①根据2015年为基期的国内生产总值计算．资料来源：世界银行WDI数据库．

A、2013-2021年，我国经济平均增速6.6%，居世界主要经济体前列 B、2013-2021年，我国对世界经济增长的年均贡献率达到38.6%，超过表中其他国家年均贡献率的总和，是推动世界经济增长的第一动力 C、2021年，我国的经济增长率位居世界第一 D、表中“2021年世界主要国家经济增长率”这组数据的75百分位数是7.4

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11. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，将 $y = f (x)$ 的图像上所有点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图像．若 $g (x)$ 为奇函数，且最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递减 C、不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集为 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π - \frac{π}{12}] (k \in Z)$ D、方程 $f (\frac{x}{2}) = g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有2个解

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12. 球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为 $60 c m$ ，高为 $20 c m$ ．假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（）

A、若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则伞在地面的影子是圆 B、若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则伞在地面的影子是椭圆 C、若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角 $\frac{π}{3}$ ，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ D、若太阳光线与地面所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为 $240 c m$

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三、填空题

13. ${(\frac{2}{x} - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 中： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} - 1 ， n 为奇数， \\ 2 a_{n} + 2 ， n 为偶数， \end{array}$ 则 ${a_{n}}$ 的前8项和为．

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15. 如图是我国古代测量粮食的容器“升”，其形状是正四棱台，“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”，若该“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的 $\frac{1}{4}$ ，则该“升”升口边长与升底边长的比值为．

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16. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且 $f (x) + f (y) = f (x y)$ ， $f (a_{n}) = n + f (n)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (\frac{a_{i}}{i}) =$ ．

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四、解答题

17. 正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $6 S_{n} = a_{n}^{2} + 3 a_{n} + 2$ ，且 $a_{1} > 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} (3^{b_{n}} - 1) = 3$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $3^{T_{100}}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b = \sqrt{3}$ ， $a < c$ ，且 $s i n (\frac{π}{3} - A) c o s (\frac{π}{6} + A) = \frac{1}{4}$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a s i n A + c s i n C = 4 \sqrt{3} s i n B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的两个动点．

(1)、若 $B F / /$ 平面 $A C E$ ，求 $E F$ 的长度；

(2)、若 $\vec{D_{1} E} = \frac{1}{4} \vec{D_{1} B_{1}}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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20. 有研究显示，人体内某部位的直径约 $10 m m$ 的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约 $10 m m$ 的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约 $10 m m$ 的结节，他做了该项无创血液检测．

(1)、求患者甲检查结果为阴性的概率；

(2)、若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；

(3)、医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ ，点 $A (1 ， 2)$ 在C上，A关于动点 $T (t ， 0) (t < 3)$ 的对称点记为M，过M的直线l与C交于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ， M为P，Q的中点．

(1)、当直线l过坐标原点O时，求 $△ A P Q$ 外接圆的标准方程；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (1 + a x) - x - \frac{1}{a}$ ， $g (x) = x - e^{x}$ ．

(1)、若不等式 $f (x) \leq \frac{1}{a} - 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 1$ 时，存在4个不同实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = g (x_{3}) = g (x_{4})$ ，证明： $| x_{2} - x_{1} | = | x_{4} - x_{3} |$ ．

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