2023年高三2月大联考（全国乙卷）文数试卷

试卷更新日期：2023-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 2 - i$ ，则 $\frac{1}{\bar{z} + i} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} i$

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2. 若集合 $A = {x \in N | \frac{x - 4}{x + 2} < 0}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ C、 ${0 ， 2 ， 3}$ D、 ${2 ， 3}$

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3. 已知命题p： $\forall x > 1$ ， $x (x - 1) \geq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x (x - 1) < 0$ B、 $\exists x > 1$ ， $x (x - 1) < 0$ C、 $\forall x < 1$ ， $x (x - 1) \geq 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $x (x - 1) \geq 0$

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4. 下列函数中，既是奇函数又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的为（）

A、 $y = t a n x$ B、 $y = l n (1 + x) - l n (1 - x)$ C、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ D、 $y = e^{x} - e^{- x} - 2 x$

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5. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长都相等， $D$ 为棱 $A B$ 的中点，则 $C D$ 与 $A C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 S_{n} - 6 = 2 a_{n}$ ，则 $\frac{S_{5}}{a_{5}}$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{16}$ B、 $\frac{33}{16}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $- \frac{31}{48}$

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7. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6}) + c o s^{2} x - s i n^{2} x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $g (x)$ 的一个极值点，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ ．若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为 $y = - x + a$ ，则实数a的值为（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为 $2 \sqrt{3}$ 的圆， $∠ A = 120 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A B = A D$ ，则四边形ABCD的周长为（）

A、 $4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2}$ B、 $10 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}$

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10. 如图，已知线段AD的长为3，B，C是线段AD上的两点，则线段AB，BC，CD能构成三角形的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知O为坐标原点，F是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足 $F A ⊥ F B$ ，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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12. 已知 $a = l n 1.1$ ， $b = l n \frac{12}{11}$ ， $c = \frac{1}{11}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

13. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点到两个焦点的距离之差为 $- 2$ ，且双曲线E的离心率为2，则双曲线E的方程为．

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14. 已知 $m > 0$ ，平面向量 $\vec{a} = (m^{2} + 2 ， m)$ ， $\vec{b} = (λ ， 1)$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 2$ ， $b^{2} + c^{2} - b c = 4$ ， $b s i n B - c s i n C$ $= 2 s i n A$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于．

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16. 在四面体ABCD中， $A B = B C = C A$ ， $A B ⊥ B D$ ， $A C ⊥ C D$ ．若四面体ABCD的体积为 $8 \sqrt{3}$ ，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为．

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三、解答题

17. 希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
序号（i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度 $(x_{i})$
11.6
13.0
12.8
11.8
12.0
12.8
11.5
12.7
13.4
12.4

序号（i）
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
长度 $(x_{i})$
12.9
12.8
13.2
13.5
11.2
12.6
11.8
12.8
13.2
12.0
参考数据： $\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} = 3133.6$ ， $\sqrt{4.3} \approx 2.074$ ， $\sqrt{43} \approx 6.557$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ．

(1)、估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；

(2)、判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．
（记 $U = \frac{\sqrt{n} (\bar{x} - θ_{0})}{s}$ ，其中 $\bar{x}$ 为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当 $n = 20$ 时， $θ_{0} = 11.5$ ．若 $U > 1.96$ ，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足对任意m， $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + m} = a_{n} + a_{m}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} - a_{2} = 0$ ， $b_{3} - a_{3} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面 $A D E ⊥$ 平面ABCD， $B F ∕ ∕ A E$ ， $A E = 2 B F$ ， $A D = D E = A E = 2$ ．

(1)、求证： $C F ⊥$ 平面AEFB；

(2)、在 $△ A D E$ 内（包括边界）是否存在一点N，使得 $M N ∕ ∕$ 平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆 $E ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 12$ 与抛物线 $C$ 有且只有两个公共点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过圆心 $E$ 的直线与圆 $E$ 交于点 $A ， B$ ，直线 $O A ， O B$ 分别交抛物线 $C$ 于点 $P ， Q$ （点 $P ， Q$ 不与点 $O$ 重合）.记 $△ O A B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} (l n x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a \leq 0$ ，若函数 $F (x) = f^{'} (x) \cdot e^{- x} + a (x - 1) - 1$ 在 $(0 ， 2)$ 上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s t \\ y = 2 s i n t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) + m = 0$ .

(1)、写出直线l的直角坐标方程；

(2)、设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足 $| M A | = \sqrt{3} | M B |$ ，求实数m的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | a x - 2 | - | x - 2 | (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in [2 ， 4]$ ，使得 $f (x) \leq 0$ ，求a的取值范围.

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序号（i）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
长度 $(x_{i})$	11.6	13.0	12.8	11.8	12.0	12.8	11.5	12.7	13.4	12.4

序号（i）	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
长度 $(x_{i})$	12.9	12.8	13.2	13.5	11.2	12.6	11.8	12.8	13.2	12.0