2023届高三2月大联考（全国乙卷）理数试卷

试卷更新日期：2023-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数z满足 $z (2 + i) = 8 - i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $4 - i$ D、 $4 + i$

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2. 若集合 $M = {x | \frac{x - 1}{x - 3} \leq 0}$ ， $N = {y | y = x^{2} + 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[2 ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(2 ， 3]$

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3. 已知命题p： $\forall x > 1$ ， $x (x - 1) \geq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x (x - 1) < 0$ B、 $\exists x > 1$ ， $x (x - 1) < 0$ C、 $\forall x < 1$ ， $x (x - 1) \geq 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $x (x - 1) \geq 0$

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4. 已知空间四条直线a，b，m，n和两个平面 $α$ ， $β$ 满足 $a ， b \subset α$ ， $m ， n \subset β$ ， $a ∩ b = P$ ， $m ∩ n = Q$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a ∥ m$ ，则 $a ∥ β$ B、若 $a ∥ β$ 且 $m ∥ α$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $a ∥ β$ 且 $b ∥ β$ ，则 $m ∥ α$ D、若 $a ⊥ m$ 且 $b ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 已知角 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 若函数 $f (x)$ 的部分图象如图，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = 1 - c o s x (x \neq 0)$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} s i n x}{e^{x} - e^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{s i n x}{x}$ D、 $f (x) = \frac{c o s x}{x} \cdot l n | x |$

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7. 2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2位教师，“自行车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（）

A、132种 B、112种 C、96种 D、84种

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8. 对于函数 $f (x) = 2 s i n x (c o s x - s i n x) + 1$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{8})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 1)$ 中心对称

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9. 若非负数x，y满足 ${\begin{array}{l} | x - y | \leq 1 \\ x + y \leq 3 \end{array}$ ，则事件“ $2 x + y \geq 4$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{15}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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10. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $α$ 满足 $c o s α = \frac{3}{5}$ ，则这块四边形木板周长的最大值为（）

A、 $20 c m$ B、 $20 \sqrt{2} c m$ C、 $20 \sqrt{3} c m$ D、 $30 c m$

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11. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .若椭圆C上存在一点M，使得 ${| F_{1} F_{2} |}^{2} = | M F_{1} | \cdot | M F_{2} |$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{5}}{10} ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{5}}{10} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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12. 若 $a = 0.6 e^{0.4}$ ， $b = 2 - l n 4$ ， $c = e - 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 3)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为.

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14. 已知双曲线M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为双曲线M右支上一点，且满足 $\frac{| P F_{1} | - | P F_{2} |}{| F_{1} F_{2} |} = \frac{1}{3}$ ，则双曲线M的渐近线方程为.

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15. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 2) = - f (2 x)$ ，且 $y = f (2 x - 1)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{4}$ 对称.若 $x \in (\frac{1}{2} ， \frac{5}{4})$ 时， $f (x) = 3 - 4 x$ ，则 $f (2022) =$ .

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16. 如图是水平放置的三棱锥 $P - A B C$ 的三视图，其中正视图为正三角形.记经过棱PA的平面截三棱锥 $P - A B C$ 的外接球所得圆面的面积为S.若S的最大值为 $3 π$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为.

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三、解答题

17. 某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
序号（i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度（ $x_{i}$ ）
11.6
13.0
12.8
11.8
12.0
12.8
11.5
12.7
13.4
12.4
序号（i）
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
长度（ $x_{i}$ ）
12.9
12.8
13.2
13.5
11.2
12.6
11.8
12.8
13.2
12.0
参考数据： $\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} = 3133.6$ .

(1)、估计该种植大户收获的果实长度的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；

(2)、若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X的数学期望与方差.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足对任意m， $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + m} = a_{n} + a_{m}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} - a_{2} = 0$ ， $b_{3} - a_{3} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD为菱形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P A = P D$ ， E为CD的中点.

(1)、求证： $B D ⊥ P E$ ；

(2)、若 $A C = 2 B D = 8$ ， $P A = 3$ ，求平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆 $E ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 12$ 与抛物线 $C$ 有且只有两个公共点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过圆心 $E$ 的直线与圆 $E$ 交于点 $A ， B$ ，直线 $O A ， O B$ 分别交抛物线 $C$ 于点 $P ， Q$ （点 $P ， Q$ 不与点 $O$ 重合）.记 $△ O A B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、若 $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{x}$ ，求证：当 $a > 0$ 时， $g (a) > 0$ 恒成立；

(2)、若 $f (x)$ 存在极小值，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s t \\ y = 2 s i n t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) + m = 0$ .

(1)、写出直线l的直角坐标方程；

(2)、设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足 $| M A | = \sqrt{3} | M B |$ ，求实数m的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | a x - 2 | - | x - 2 | (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in [2 ， 4]$ ，使得 $f (x) \leq 0$ ，求a的取值范围.

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序号（i）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
长度（ $x_{i}$ ）	11.6	13.0	12.8	11.8	12.0	12.8	11.5	12.7	13.4	12.4
序号（i）	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
长度（ $x_{i}$ ）	12.9	12.8	13.2	13.5	11.2	12.6	11.8	12.8	13.2	12.0