安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省2023届高三下学期数学2月适应性测试试卷

试卷更新日期：2023-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $z = 1 + i$ ，则 $z^{2} - i =$ （）

A、i B、 $- i$ C、1 D、-1

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2. 设集合 $A = {2 ， 3 ， a^{2} - 2 a - 3}$ ， $B = {0 ， 3}$ ， $C = {2 ， a}$ ．若 $B ⊆ A$ ， $A \cap C = {2}$ ，则 $a =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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3. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相互垂直，已知 $\vec{a} = (6 ， - 8)$ ， $| \vec{b} | = 5$ ，且 $\vec{b}$ 与向量 $(1 ， 0)$ 的夹角是钝角，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 3 ， - 4)$ B、 $(4 ， 3)$ C、 $(- 4 ， 3)$ D、 $(- 4 ， - 3)$

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5. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若 $△ A B C$ 是正三角形，则D的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D ⊥ C D$ ．若 $A B = 3$ ， $B D = 1$ ，则该三棱锥体积的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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7. 设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $R$ 上的导函数存在，且 $f^{'} (x) < g^{'} (x)$ ，则当 $x \in (a ， b)$ 时（）

A、 $f (x) < g (x)$ B、 $f (x) > g (x)$ C、 $f (x) + g (a) < g (x) + f (a)$ D、 $f (x) + g (b) < g (x) + f (b)$

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8. 已知a，b，c满足 $a = l o g_{5} (2^{b} + 3^{b})$ ， $c = l o g_{3} (5^{b} - 2^{b})$ ，则（）

A、 $| a - c | \geq | b - c |$ ， $| a - b | \geq | b - c |$ B、 $| a - c | \geq | b - c |$ ， $| a - b | \leq | b - c |$ C、 $| a - c | \leq | b - c |$ ， $| a - b | \geq | b - c |$ D、 $| a - c | \leq | b - c |$ ， $| a - b | \leq | b - c |$

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二、多选题

9. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 单调递减，则（）

A、 $f (f (1)) < f (f (2))$ B、 $f (g (1)) < f (g (2))$ C、 $g (f (1)) < g (f (2))$ D、 $g (g (1)) < g (g (2))$

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10. 已知平面 $α ∩$ 平面 $β = l$ ， B，D是l上两点，直线 $A B \subset α$ 且 $A B ∩ l = B$ ，直线 $C D \subset β$ 且 $C D ∩ l = D$ ．下列结论中，错误的有（）

A、若 $A B ⊥ l$ ， $C D ⊥ l$ ，且 $A B = C D$ ，则ABCD是平行四边形 B、若M是AB中点，N是CD中点，则 $M N ∥ A C$ C、若 $α ⊥ β$ ， $A B ⊥ l$ ， $A C ⊥ l$ ，则CD在 $α$ 上的射影是BD D、直线AB，CD所成角的大小与二面角 $α - l - β$ 的大小相等

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11. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的 $⊙ O$ 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为 $2 r a d / s$ ，起点为 $⊙ O$ 与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为 $5 r a d / s$ ，起点为射线 $y = - \sqrt{3} x (x \geq 0)$ 与 $⊙ O$ 的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）

A、 $(c o s \frac{2 π}{9} ， s i n \frac{2 π}{9})$ B、 $(- c o s \frac{5 π}{9} ， - s i n \frac{5 π}{9})$ C、 $(c o s \frac{π}{9} ， - s i n \frac{π}{9})$ D、 $(- c o s \frac{π}{9} ， s i n \frac{π}{9})$

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12. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ ， $\overset{⌢}{B D}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上， $M N ⊥ O B$ ， $K N ⊥ O B$ ．记 $α = ∠ A O B$ ， $β = ∠ A O C$ ， $γ = ∠ B O D$ ， $δ = ∠ C O D$ ，则（）

A、 $s i n β = s i n γ c o s δ$ B、 $c o s β = c o s γ c o s δ$ C、 $s i n α = \frac{s i n δ}{c o s β}$ D、 $c o s α = \frac{c o s γ c o s δ}{c o s β}$

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三、填空题

13. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布 $N (100 ， σ^{2})$ ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到 $95.45 %$ ，则需调整生产工艺，使得 $σ$ 至多为． (若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | < 2 σ) \approx 0.9545$ )

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14. 若P，Q分别是抛物线 $x^{2} = y$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的点，则 $| P Q |$ 的最小值为．

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15. 数学家祖冲之曾给出圆周率 $π$ 的两个近似值：“约率” $\frac{22}{7}$ 与“密率” $\frac{355}{113}$ ．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由 $\frac{3}{1} < π < \frac{4}{1}$ ，取3为弱率，4为强率，得 $a_{1} = \frac{3 + 4}{1 + 1} = \frac{7}{2}$ ，故 $a_{1}$ 为强率，与上一次的弱率3计算得 $a_{2} = \frac{3 + 7}{1 + 2} = \frac{10}{3}$ ，故 $a_{2}$ 为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知 $a_{m} = \frac{22}{7}$ ，则 $m =$ ； $a_{8} =$ ．

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16. 图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按 $(2 ， 2)$ 将导致 $(1 ， 2)$ ， $(2 ， 1)$ ， $(2 ， 2)$ ， $(2 ， 3)$ ， $(3 ， 2)$ 改变状态．如果要求只改变 $(1 ， 1)$ 的状态，则需按开关的最少次数为．
$(1 ， 1)$
$(1 ， 2)$
$(1 ， 3)$
$(2 ， 1)$
$(2 ， 2)$
$(2 ， 3)$
$(3 ， 1)$
$(3 ， 2)$
$(3 ， 3)$

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四、解答题

17. 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形， $A C$ 是圆柱的底面直径， $P C$ 是圆柱的母线，E是AC与BD的交点， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、记圆柱的体积为 $V_{1}$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ；

(2)、设点F在线段AP上， $P A = 4 P F ， P C = 4 C E$ ，求二面角 $F - C D - P$ 的余弦值．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 单调，其中 $ω$ 为正整数， $| φ | < \frac{π}{2}$ ，且 $f (\frac{π}{2}) = f (\frac{2 π}{3})$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 图像的一条对称轴；

(2)、若 $f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $φ$ ．

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19. 记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $a_{1} = 1 ， a_{n} = T_{n - 1} (n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设m为整数，且对任意 $n \in N^{*}$ ， $m \geq \frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + ⋯ + \frac{n}{a_{n}}$ ，求m的最小值．

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20. 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼， $X$ 表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．

(1)、若 $N = 5000$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得 $P (X = 15)$ 最大的N的值作为N的估计值）．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $A (4 \sqrt{2} ， 3)$ ，且焦距为10．

(1)、求C的方程；

(2)、已知点 $B (4 \sqrt{2} ， - 3) ， D (2 \sqrt{2} ， 0)$ ， E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明： $\frac{| G D |}{| G E |} = \frac{| H D |}{| H E |}$ ．

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22. 椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线 $C = {(x ， y) ∣ y^{2} = x^{3} + a x + b ， 4 a^{3} + 27 b^{2} \neq 0}$ ． $P \in C$ 关于x轴的对称点记为 $\tilde{P}$ ． C在点 $P (x ， y) (y \neq 0)$ 处的切线是指曲线 $y = \pm \sqrt{x^{3} + a x + b}$ 在点P处的切线．定义“ $\oplus$ ”运算满足：①若 $P \in C ， Q \in C$ ，且直线PQ与C有第三个交点R，则 $P \oplus Q = \tilde{R}$ ；②若 $P \in C ， Q \in C$ ，且PQ为C的切线，切点为P，则 $P \oplus Q = \tilde{P}$ ；③若 $P \in C$ ，规定 $P \oplus \tilde{P} = 0^{*}$ ，且 $P \oplus 0^{*} = 0^{*} \oplus P = P$ ．
参考公式： $m^{3} - n^{3} = (m - n) (m^{2} + m n + n^{2})$

(1)、当 $4 a^{3} + 27 b^{2} = 0$ 时，讨论函数 $h (x) = x^{3} + a x + b$ 零点的个数；

(2)、已知“ $\oplus$ ”运算满足交换律、结合律，若 $P \in C ， Q \in C$ ，且PQ为C的切线，切点为P，证明： $P \oplus P = \tilde{Q}$ ；

(3)、已知 $P (x_{1} ， y_{1}) \in C ， Q (x_{2} ， y_{2}) \in C$ ，且直线PQ与C有第三个交点，求 $P \oplus Q$ 的坐标．

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$(1 ， 1)$	$(1 ， 2)$	$(1 ， 3)$
$(2 ， 1)$	$(2 ， 2)$	$(2 ， 3)$
$(3 ， 1)$	$(3 ， 2)$	$(3 ， 3)$