浙江省嵊州市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2023-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $t a n A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $∠ A$ 是锐角，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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2. 若 $\frac{y}{x} = \frac{2}{5}$ ，则 $\frac{y}{x + y}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{2}{7}$

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3. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $C$ 是优弧 $A B$ 上一点，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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4. 在一个暗箱里放有 $m$ 个除颜色外完全相同的球，这 $m$ 个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出 $m$ 约为（）

A、7 B、3 C、10 D、6

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + 4 a x + c (a < 0 ， a ， c$ 均为常数 $)$ 的图象经过 $A (- 5 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ ， $C (0 ， y_{3})$ 三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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6. 如图，在由小正方形组成的方格纸中， $△ A B C$ 和 $△ P D E$ 的顶点均在格点上，要使 $△ A B C ∽ △ P D E$ ，则点 $P$ 所在的格点为（）

A、 $P_{1}$ B、 $P_{2}$ C、 $P_{3}$ D、 $P_{4}$

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7. 在学习画线段 $A B$ 的黄金分割点时，小明过点B作 $A B$ 的垂线 $B C$ ，取 $A B$ 的中点M，以点B为圆心， $B M$ 为半径画弧交射线 $B C$ 于点D，连接 $A D$ ，再以点D为圆心， $D B$ 为半径画弧，前后所画的两弧分别与 $A D$ 交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交 $A B$ 于点H，点H即为 $A B$ 的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）

A、 $A F$ B、 $D F$ C、 $A E$ D、 $D E$

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，若 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，且 $\frac{C D}{A D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n ∠ D B C$ 的值为（）.

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9. 如图，在半径为5的 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径， $A C$ 是弦， $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ .若 $\frac{B E}{D E} = \frac{1}{2}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $y = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{9}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴交于A，B两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是 $B C$ 上方抛物线上一点，连结 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，连结AC，CP，记 $△ A C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、1

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二、填空题

11. 图中的两个三角形是否相似，（填“是”或“否”）.

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12. 如图是刚刚结束的2022年第22届卡塔尔世界杯发行的官方纪念币，它们分别是①世界杯会徽，②世界杯口号，③大力神杯，④吉祥物，⑤多哈塔尔塔，⑥阿尔拜特体育场，⑦卡塔尔地图，⑧卢赛尔体育场.现有8张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有世界杯会徽，世界杯口号，大力神杯，吉祥物，多哈塔尔塔，阿尔拜特体育场，卡塔尔地图，卢赛尔体育场种不同的图案，背面完全相同.现将这8张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是世界杯会徽图案的概率是.

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13. 如图，在由相同的菱形组成的网格中， $∠ A B C = 60 °$ ，小菱形的顶点称为格点，已知点A，B，C，D，E都在格点上，连接 $B D$ ， $B E$ ， $t a n ∠ E B D$ 的值为.

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14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 相交于点 $E$ ，若 $A E = 2$ ， $B E = 8$ ， $C E = 2 D E$ ，则 $O$ 到 $C D$ 的距离为.

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15. 二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + h (b \leq x \leq b + 1)$ 的图象上任意二点连线不与 $x$ 轴平行，则 $b$ 的取值范围为.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $E$ 是射线 $A B$ 上一动点，连结 $D E$ 交对角线 $A C$ 于点 $F$ ，当 $D E$ 把 $△ A B C$ 分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ，则 $A E$ 的长为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $\sqrt{3} s i n 60 ° - {(c o s 30 ° - π)}^{0} + t a n 45 °$ .

(2)、已知线段c是线段a，b的比例中项，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 12 \sqrt{3}$ ，求线段c的长.

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18. 在 $3 \times 3$ 的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.

(1)、从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是.

(2)、从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）.

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19. 如图1是嵊州市某小区的“垃圾分类定时定点投放点”，智能化按键式开启投放门的投放方式，让嵊州人民的垃圾投放变得更智能更环保，图2是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板 $A B$ 长45cm，挡板底部距地面高 $B D$ 为125cm，挡板开启后的最大张角为 $57.6 °$ ，求投放门前端C离开的最大距离 $C F$ 及投放门前端C距地面的最大距离（参考数据： $s i n 57.6 ° \approx 0.844$ ， $c o s 57.6 ° \approx 0.536$ ， $t a n 57.6 ° \approx 1.58$ ，结果精确到1cm）

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，分别延长 $B C$ ， $A D$ ，使它们相交于点 $E$ ， $A B = 8$ ，且 $D C = D E$ .

(1)、求证： $∠ A = ∠ A E B$ .

(2)、若 $∠ E D C = 90 °$ ，点 $C$ 为 $B E$ 的中点，求 $⊙ O$ 的半径.

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21. 在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网.小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点 $O$ 与障碍平台 $A$ 之间的距离 $O A$ 为 $9 m$ ，障碍平台高为 $1.08 m$ ，若小冲此次训练时足球正好在前方 $5 m$ 的点 $C$ 处达到最高点，离地面最高距离为 $3 m$ ，以地面 $O A$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于 $O A$ 的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系.

(1)、求过O，C，B三点的抛物线表达式；

(2)、此时障碍平台与球门之间的距离 $A D$ 为 $6 m$ ，已知球门高为 $2.44 m$ ，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门.

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22. 为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：

方案设计	方案1	方案2
裁剪方案示意图
说明	图中的正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 四个顶点都在原四边形的边上
测量数据	$A D = 9 d m$ ， $C D = 2 d m$ ， $A B = 14 d m$ ， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ；
任务1：探寻边角	填空： $B C =$ ▲ $d m$ ， $s i n B =$ ▲ ；
任务2：比较面积	计算或推理：正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 边长之比；
任务3：应用实践	若在 $△ B E F$ 余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ $d m$ .

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23. 设二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 是常数）的图像与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、若 $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ ，求该二次函数的表达式.

(2)、若函数 $y$ 的表达式可以写成 $y = - {(x + h)}^{2} + 3$ （ $h$ 是常数）的形式，求 $c - b$ 的最大值.

(3)、设一次函数 $p = x - m$ （ $m$ 是常数），若二次函数的表达式还可以写成 $y = - (x - m) (x - m + 1)$ 的形式，当函数 $q = y - p$ 的图像经过点 $(x_{0} ， 0)$ 时，求 $x_{0} - m$ 的值.

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24. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $E$ 是射线 $A B$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $D B$ 上的动点，满足 $A E = D F$ .

(1)、若点 $E$ 是 $A B$ 的中点，求 $B F$ 的长和 $t a n ∠ B F E$ 的值.

(2)、若 $△ B E F$ 是等腰三角形，求 $A E$ 的长.

(3)、若 $B F = 4$ ，点 $P$ 是射线 $A D$ 上的点，满足 $t a n ∠ B P E = \frac{1}{5}$ ，直接写出 $D P$ 的长.

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