浙江省宁波市江北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\frac{x}{y} = \frac{7}{4}$ ，则 $\frac{x - y}{y}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 下列事件是必然事件的是（）

A、足球运动员在罚球区射门一次，射中 B、从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇 C、将实心铅球投入水中，下沉 D、雨后见彩虹，幸运

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3. 如图所示， $△ A B D ∽ △ A C B$ ， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、3 D、4

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 关于二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ ，下列说法正确的是（）

A、函数图象的开口向下 B、函数图象的顶点坐标是 $(- 1 ， 5)$ C、该函数的最大值是5 D、当 $x ≥ 1$ 时，y随x的增大而增大

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B = C D$ ，若 $∠ A B D = 25 °$ ，则 $∠ B E D$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $150 °$

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7. 如图，点P为 $⊙ O$ 外一点，连结 $O P$ ，作以 $O P$ 为直径的圆，两圆交于点Q，连接 $P Q$ ，可得 $P Q$ 是 $⊙ O$ 的切线，则判定其为切线的依据是（）

A、经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B、垂线段最短 C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D、过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

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8. 如图，点G是 $△ A B C$ 的重心， $G H ⊥ B C$ 于点H，若 $G H = 1$ ， $B C = 2$ ，则△ABC的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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9. 定义：在 $△ A B C$ ， D，E分别是 $△ A B C$ 两边的中点，如果 $\overset{⌢}{D E}$ 上的所有点都在 $△ A B C$ 的内部或边上，则称 $\overset{⌢}{D E}$ 为 $△ A B C$ 的中内弧.如图1， $\overset{⌢}{D E}$ 是 $△ A B C$ 的一条中内弧，如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D，E分别是AB，AC的中点.则 $R t △ A B C$ 所有中内弧 $\overset{⌢}{D E}$ 所组成的图形（图中阴影部分表示）为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 5 (a > 0)$ ，当 $0 \leq x \leq m$ 时，y有最小值 $- 4 a + 5$ 和最大值5，则m的取值范围为（）

A、 $m \geq 2$ B、 $0 \leq m \leq 2$ C、 $1 \leq m \leq 2$ D、 $2 \leq m \leq 4$

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二、填空题

11. 请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体．

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12. 淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示：（注： $点击率 = \frac{点击量}{展现量} \times 100 %$ ）
展现量
50
100
1000
5000
10000
50000
100000
点击量
4
7
78
385
760
3800
7600
点击率
$8.0 %$
$7.0 %$
$7.8 %$
$7.7 %$
$7.6 %$
$7.6 %$
$7.6 %$
根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为.

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13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 $r = 2 c m$ ，母线长 $l = 8 c m$ ，则侧面展开图的圆心角 $θ$ 的度数为.

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14. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于 $⊙ O$ ，取 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点G， $O G$ 与 $A B$ 交于点H；连接 $A G$ 、 $B G$ ；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为 $S_{1}$ ，正六边形的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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15. 有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值.

x	…	$- 1$	0	1	2	…
y	…	$m^{2}$	$- 1$	$m^{2}$	$m^{2}$	…

若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当 $y < - 1$ 时，x的取值范围是.

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16. 如图， $A B$ 是半圆 $⊙ O$ 的直径且 $A B = \sqrt{2}$ .P为半圆 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点（不与点A、B重合），D为 $A B$ 延长线上一点， $∠ P A B$ 、 $∠ P B D$ 的角平分线相交于点C.在点P移动的过程中，线段 $A C$ 扫过的面积为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $2 s i n 45 ° - 2 c o s 30 ° + t a n 60 °$ .

(2)、求二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 的图象与x轴的交点坐标.

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18. 甲、乙、丙三名同学玩石头剪刀布游戏，规则如下：若其中两人出的手势相同，另一人不同，则按以下方式分胜负：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；其他情况则为平局.

(1)、甲同学决定随机出一个手势，则他出的手势为剪刀的概率为.

(2)、若甲同学出的是剪刀，请用画树状图或列表的方法，求甲同学获胜的概率.

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19. 如图，在 $6 \times 5$ 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点， $⊙ P$ 经过格点 $A ， B ， C$ ，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图.（保留作图痕迹）

(1)、在图1中，画出 $△ A B C$ 的中线 $C D$ .

(2)、在图2中，标出圆心 $P$ ，并画出 $△ A B C$ 的角平分线 $C E$ .

(3)、在图3中，画出 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上的高线 $B F$ .

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20. 图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息： $A E ∥ B C ∥ F G$ ， $A D = 80 c m$ ， $C D = 60 c m$ ， $C G = 30 c m$ ， $∠ D A E = 15 °$ ， $∠ C G F = 60 °$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ .请根据以上信息，解决下列问题.（结果精确到 $0.1 c m$ ，参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.26$ ， $c o s 15 ° \approx 0.97$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、求点D到 $F G$ 所在直线的距离.

(2)、求 $B C$ 的长度.

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21. 如图， $A B$ 为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接 $A C$ ，点D为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过D作 $D E ∥ A C$ ，交 $O C$ 的延长线于点E.

(1)、求证： $D E$ 是半圆O的切线.

(2)、若 $O C = 3$ ， $C E = 2$ ，求 $A C$ 的长.

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22. 用长为8米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形 $A E F B$ ，矩形 $E D H G$ ，矩形 $G H C F$ 的面积均相等，设 $A B$ 的长为 $x$ 米.

(1)、请用含 $x$ 的代数式表示 $A D$ 的长.

(2)、设矩形 $A B C D$ 的面积为 $y$ ，出于实际考虑，我们要求窗框的高度( $A D$ )至少为1米，宽度( $A B$ )至少为1.5米，则当 $x$ 取何值时，透光面积 $y$ 最大，并求出面积的最大值.

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23. 如图

(1)、【基础巩固】如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三形，点B、D、E在同条直线上， $A C$ 与 $B E$ 交于点F.求证： $△ A D F ∽ △ C E F$ .

(2)、【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若 $E F = 2 D F = 4$ ，求 $C F$ 的长度.

(3)、【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中， $∠ B A G = ∠ E A D = ∠ E D A = 60 °$ ， $B E = 3$ ， $F D = 2$ ，求 $t a n ∠ B A E$ 的值.

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24. 如图1，C、D是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上的点，且满足 $B C = C D = D A = 3$ ，点P在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $P D$ 交 $A C$ 于点M，交 $A B$ 于点G， $P C$ 交 $B D$ 于点N，交 $A B$ 于点H.

(1)、求 $∠ D B A$ 的度数.

(2)、如图2，当点P是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，
①求证： $△ A M G$ 是等腰三角形.
②求 $\frac{M I}{A G}$ 的值.

(3)、如图1，设 $\frac{A M}{M C} = x$ ， $△ D M I$ 与 $△ C N I$ 的面积差为y，求y关于x的函数表达式.

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展现量	50	100	1000	5000	10000	50000	100000
点击量	4	7	78	385	760	3800	7600
点击率	$8.0 %$	$7.0 %$	$7.8 %$	$7.7 %$	$7.6 %$	$7.6 %$	$7.6 %$