浙江省湖州市长兴县2022-2023学年九年级上学期期末检测数学试题

试卷更新日期：2023-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、（3，1） B、（3，﹣1） C、（﹣3，1） D、（﹣3，﹣1）

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2. 如果正多边形的一个内角是 $144^{\circ}$ ，则这个多边形是（）

A、正十边形 B、正九边形 C、正八边形 D、正七边形

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3. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、三角形的外心到三边的距离相等 B、任意画一个三角形，其内角和是180° C、射击运动员射击一次，命中靶心 D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

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4. 已知扇形的半径为6，圆心角为 $120 °$ ，则此扇形的弧长是（）

A、4 B、2 C、 $4 π$ D、 $2 π$

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5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ . $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $D$ 为弧 $A C$ 的中点， $E$ 为 $B A$ 延长线上一点.若 $∠ D A E = 114 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、 $38 °$ B、 $37 °$ C、 $33 °$ D、 $57 °$

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7. 如图1是第七届国际数学教育大会( $I C M E$ )的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 $2$ 所示的四边形 $A B C D$ .如果已知 $A B = B C = 1$ ， $∠ A D B$ $=$ $α$ ，则 $t a n ∠ B D C$ 的值是（）

A、 $t a n α$ B、 $c o s α$ C、 $s i n α$ D、 $\frac{1}{s i n α}$

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8. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的正方形网格图形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 上的格点， $B M = 4$ ， $B N = 2$ .若点 $P$ 是这个网格图形中的格点，连结 $P M$ ， $P N$ ，构造 $△ P M N$ ，使得 $△ P M N$ 有一个内角为 $90 °$ ，则满足题意的点 $P$ 的个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 如图，抛物线 $y = 2 x^{2} - \frac{5}{2} x + a$ 与 $x$ 轴正半轴交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴正半轴交于 $C$ ，且 $∠ O C A = ∠ O B C$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(3 \sqrt{3} ， 0)$

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10. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， B C = 12 ， A B = 13$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上的一动点，过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ 交边 $B C$ 于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ B C$ 交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ，分别以 $D E ， E F$ 为对角线画矩形 $C D G E$ 和矩形 $H E B F$ ，则在 $D$ 从 $A$ 到 $C$ 的运动过程中，当矩形 $C D G E$ 和矩形 $H E B F$ 的面积和最小时，则 $E F$ 的长度为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、6 D、 $\frac{13}{2}$

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二、填空题

11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， A B = 10$ ，则 $c o s B$ 的值为.

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12. 若将二次函数 $y = (x + 2)^{2} - 1$ 的图象向左平移 $h$ 个单位，再向下平移 $k$ 个单位，所得图象的函数表达式为 $y = (x + 3)^{2} - 4$ ，则h=；k=.

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13. 袋中装有2个黑球和 $n$ 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 $\frac{2}{3}$ ”，则这个袋中白球有个.

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14. 如图，在一张长方形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ 和 $C D$ 的中点，点 $H$ 是 $B C$ 上一点，将矩形的一角沿 $A H$ 所在的直线翻折，点 $B$ 恰好落在 $E F$ 上，若 $A B = 10$ ，则 $B H$ 的长是.

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15. 如图，将二次函数 $y = - x^{2} + x + 6$ 在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线 $y = - x + m$ 与新图象有4个交点时，m的取值范围是.

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16. ⊙ $O$ 为等边 $△ A B C$ 的外接圆，半径为2，点 $D$ 在劣弧 $A B$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连结 $D A$ ， $D B$ ， $D C$ .则四边形 $A D B C$ 的面积 $S$ 关于线段 $D C$ 的长 $x$ 的函数解析式是.

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三、解答题

17. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，求下列算式的值.

(1)、 $\frac{a - b}{b}$ .

(2)、 $\frac{2 a - b}{a + 2 b}$ .

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18. 已知二次函数图象的顶点坐标是 $(1 ， - 4)$ ，且经过点 $(0 ， - 3)$ .

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、若点 $B (m ， - 2)$ 在该函数图象上，求点B的坐标.

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19. 某县为创评“全国文明城市”称号，周末团县委组织志愿者进行宣传活动.班主任周老师决定从4名女班干部（小兰，小红，小丽和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加.抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，周老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.

(1)、第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为；

(2)、用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小丽被抽中”的概率.

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20. 为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°.

(1)、开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？

(2)、开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)

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21. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，延长 $B C$ 至点 $D$ ，使 $D C = C B$ .延长 $D A$ 与 $⊙ O$ 的另一个交点为 $E$ ，连结 $A C ， C E$ .

(1)、求证： $∠ D = ∠ E$ ；

(2)、若 $A B = 4 ， B C - A C = 2$ ，求 $C E$ 的长.

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22. 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA为2.44m.

(1)、在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）

(2)、守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？

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23. 在 $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 中，点 $A ， B ， D$ 在同一直线上， $A C ⊥ A D ， B C ⊥ B E$ .

(1)、如图1，如果 $D E ⊥ A D$ ，求证： $△ A B C ∽ △ D E B$ ；

(2)、如果 $A D = 20$ ， $A C = 4$ ， $B E = \frac{1}{2} B C$ .
$①$ 如图2，当 $B E = D E$ 时，求 $A B$ 的长；
$②$ 如图3， $G$ 点是 $C A$ 延长线上一点，且 $A G = 8$ ，连结 $B G$ ，如果 $∠ G = ∠ D$ ，求 $t a n D$ 的值.

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24. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点.

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、若点 $P$ 是线段 $B C$ 上的一个动点，连结 $A P$ ，在线段 $A P$ 上取一点 $Q$ ，使得 $A Q = 2 P Q$ .
①当点 $P$ 从点 $B$ 运动到点 $C$ 时，求点 $Q$ 运动的路径长；
②点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $D$ ，连结 $D Q$ ，求 $2 A P + 3 D Q$ 的最小值.

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